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Lexikon der Mathematik: Minorantenkriterium

einfaches Vergleichskriterium für Reihen, das die Divergenz von \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }|{b}_{v}|\) iner Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{b}_{v}\) aufzeigt, zu der es eine Minorante gibt, die nicht absolut konvergiert, d. h. eine Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\), für die mit einem N ∈ ℕ begin{eqnarray}\begin{array}{cc}|{a}_{v}|\le |{b}_{v}| & {\rm{f\ddot{u}r}}{\mathbb{N}}\ni\,v\ge N\end{array}\end{eqnarray}

und \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }|{a}_{v}|=\infty \) gelten.

Das Minorantenkriterium ist nur eine andere Lesart des Majorantenkriteriums. Hierbei ist zunächst an Reihen mit Gliedern in ℝ gedacht. Das Kriterium gilt aber allgemeiner unverändert zumindest noch für Reihen mit Gliedern in einem normierten Vektorraum – wenn man nur den Betrag || durch die gegebene Norm ∥ ∥ ersetzt.

Beispiel: Die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}\) ist divergent, denn \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{n}\) ist eine divergente Minorante.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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