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Lexikon der Mathematik: Majorantenkriterium

einfaches Vergleichskriterium für Reihen, das eine Aussage macht über (absolute) Konvergenz einer gegebenen Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{a}_{v}\):

Existiert zu ihr eine absolut konvergente Majorante (Majorante einer Reihe), so ist sie selbst absolut konvergent und damit konvergent. Dies gilt speziell für Reihen mit Gliedern in ℝ oder ℂ, allgemeiner zumindest für Reihen mit Gliedern in einem Banachraum. Abzulesen ist dies wegen \begin{eqnarray}\left|\displaystyle \sum _{v=n}^{n+k}{a}_{v}\right|\le \displaystyle \sum _{v=n}^{n+k}|{a}_{v}|\le \displaystyle \sum _{v=n}^{n+k}|{b}_{v}|\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,\,n,k\in {\mathbb{N}}\end{eqnarray} unmittelbar aus dem Cauchy-Konvergenzkriterium für Reihen.

„Andersherum“ gelesen liefert das Majorantenkriterium das Minorantenkriterium.

Beispiel: Für ℕ ∋ k > 2 ist die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{k}}\) konvergent, denn \(\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\frac{1}{{n}^{2}}\) ist eine (absolut konvergente) Majorante.

Allgemeiner gilt das Weierstraßsche Majorantenkriterium:

Es sei A ⊂ ℂ und (fn) eine Folge von Funktionen fn : A → ℂ. Weiter existiere eine Folge (Mn) reeller Zahlen derart, daß die Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_{n}\)konvergiert und |fn (z)| ≤ Mn für alle zA und alle n ∈ ℕ gilt. Dann ist die Funktionenreihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_{n}\)absolut und gleichmäßig konvergent auf A.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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