Mischung, in der Regel auf der σ -Algebra ℬ(ℝ) der Borelschen Mengen von ℝ definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß Q, das eine Darstellung der Form \begin{eqnarray}Q(B)={\mathrm{int}}_{{\mathbb{R}}}\kappa (x,B)\mu (dx)\end{eqnarray}

für alle B ∈ ℬ(ℝ) mit einem Markow-Kern κ von (ℝ, ℬ(ℝ)) nach (ℝ, ℬ(ℝ)) und einem auf ℬ(ℝ) definierten Wahrscheinlichkeitsmaß µ besitzt.

Im allgemeinen faßt man Q und µ als die Verteilungen P_X und P_Y von zwei auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierten reellen Zufallsvariablen X und Y und k als die bedingte Verteilung (y, B) → P(X ∈ B|Y = y) von X gegeben Y auf. Besitzt die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y, d. h. die Abbildung B → P(X ∈ B|Y = y), für jedes y eine bedingte Dichte f_X|Y=y bezüglich des Lebesgue-Maßes λ bzw. des Zählmaßes a, so besitzt P_X die Dichte \begin{eqnarray}{f}_{X}(x)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{f}_{X|Y=y}(x){P}_{Y}(dy)\end{eqnarray}

bezüglich λ bzw. a. Im Falle, daß X und Y beide diskret sind, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu \begin{eqnarray}{f}_{X}(x)=\displaystyle \sum _{y:P(Y=y)\gt 0}P(X=x|Y=y)P(Y=y),\end{eqnarray}

und im Falle, daß eine gemeinsamen Dichte von X und Y bezüglich des zweidimensionalen Lebesgue-Maßes existiert, zu \begin{eqnarray}{f}_{X}(x)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}{f}_{X|Y=y|}(x){f}_{Y}(y)\lambda (gy),\end{eqnarray}

wobei f_Y die Dichte von P_Y bezüglich λ bezeichnet. Die Abbildung zeigt f_X für eine Situation, in der P_Y durch P_Y ({0}) = 0, 3 und P_Y ({3}) = 0, 7 gegeben sind, sowie f_X|Y=y für y ∈ {0, 3} die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert µ_y = y und Varianz σ² = 1 ist.

In Anwendungen, wie z. B. der Epidemiologie, werden Mischverteilungen häufig zur Modellierung nicht beobachtbarer Heterogenität verwendet. Dabei wird Y als latente, nicht beobachtbare Variable aufgefaßt, welche die Zugehörigkeit zu bestimmten Subgruppen einer interessierenden Population angibt. Die Verteilung der beobachtbaren Variable X in der durch die Realisierung y von Y gekennzeichneten Subgruppe ist die bedingte Verteilung von X gegeben Y = y. Man nimmt nun an, daß diese Verteilung für jedes y zu einer bestimmten Verteilungsfamilie gehört, z. B. Poisson-Verteilung zum Parameter y. Um eine Mischverteilung an unabhängige Realisierungen x₁, …, x_n von X anzupassen, stellt man die Log-Likelihood-Funktion \begin{eqnarray}l({P}_{Y})=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathrm{ln}{f}_{X}({x}_{i})\end{eqnarray}

auf, welche bei gegebenen x₁, …, x_n nur von der unbekannten Verteilung P_Y abhängt, und versucht eine Verteilung \({\hat{P}}_{Y}\) innerhalb einer bestimmten parametrischen oder nichtparametrischen Klasse von Verteilungen zu bestimmen, die diese Funktion maximiert. Siehe auch Mischen von Verteilungsfunktionen.