eine Randbedingung bei Variationsproblemen, die sich auf natürliche Weise aus der Aufgabenstellung ergibt.

Es sei ein Variationsproblem der Form

\begin{eqnarray}I(y)=\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}F(x,{y}^{\text{'}},{y}^{\prime\prime})\quaddx=\text{Max}!\end{eqnarray}

bzw.

\begin{eqnarray}I(y)=\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}F(x,{y}^{\text{'}},{y}^{\prime\prime})\quaddx=\text{Min}!\end{eqnarray}

gegeben, wobei y nur am linken Rand durch y(x₀) = y₀ festgelegt, am rechten Rand aber frei ist. Durch partielle Integration folgt dann:

\begin{eqnarray}g{F}_{{y}^{\text{'}}}{|}_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}+\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{{x}_{1}}{\int }}({F}_{y}-\frac{d}{dx}{F}_{{y}^{\text{'}}})g\quaddx=0,\end{eqnarray}

wobei g eine Funktion ist, so daß y_ϵ = y + ϵg in der betrachteten Funktionenklasse liegt, das heißt g ∈ C²[x₀, x₁] und g(x₀) = 0. Neben der Euler-Gleichung \({F}_{y}-\frac{d}{dx}{F}_{{y}^{\text{'}}}=0\) muß dann auch \(g{F}_{{y}^{\text{'}}}{|}_{{x}_{0}}^{{x}_{1}}=0\) gelten. Bei passender Wahl von g folgt daraus die natürliche Randbedingung am rechten Randpunkt x₁ :

\begin{eqnarray}{F}_{{y}^{\text{'}}}({x}_{1},y({x}_{1}),{y}^{\text{'}}({x}_{1}))=0,\end{eqnarray}

wobei y eine Lösung des Variationsproblems ist. Auf analoge Weise findet man bei freiem linkem Rand die natürliche Randbedingung für den linken Randpunkt:

\begin{eqnarray}{F}_{{y}^{\text{'}}}({x}_{0},y({x}_{0}),{y}^{\text{'}}({x}_{0}))=0.\end{eqnarray}

Sind beide Ränder frei, dann muß jede Lösung neben der Euler-Gleichung auch die beiden natürlichen Randbedingungen erfüllen.