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Lexikon der Mathematik: natürliche Topologie

Standardtopologie auf einer kleinen Klasse von häufig vorkommenden topologischen Räumen.

Die natürliche Topologie des ℝn ist beispielsweise die von der euklidischen Metrik induzierte, für den Körper ℚp der p-adischen Zahlen ist es die durch die p-adische Bewertung induzierte.

Allgemein ist die natürliche Topologie auf einem metrischen Raum wie folgt definiert: Es sei X ein metrischer Raum, versehen mit der Metrik d. Dann ist die offene Kugel vom Radius r > 0 um den Punkt x0X definiert durch Br(x0) ={xX|d(x, x0) < r}. Mit Hilfe der offenen Kugeln kann man dann eine durch die Metrik d induzierte Topologie definieren. Dabei ist eine Menge UX genau dann offen, wenn es für jedes xU eine offene Kugel \({B}_{{r}_{x}}(x)\) gibt so, daß \(x\in {B}_{{r}_{x}}(x)\subseteq U\) gilt. Damit wird X zu einem Hausdorffschen topologischen Raum.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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