Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Potenzmethode

iteratives Verfahren zur Bestimmung eines Eigenvektors z zum betragsgrößten Eigenwert λ einer (n × n)-Matrix A.

Man berechnet dabei, ausgehend von einem beliebigen Startvektor x0 ≠ 0, die Folge von Vektoren ym+1 = Axm und xm+1 = ym+1/‖ym+1‖. Hat A einen Eigenwert λ, welcher betragsmäßig größer als alle weiteren Eigenwerte von A ist, und hat man x0 geeignet gewählt, dann konvergiert die Folge {xm}m∈ℕ gegen einen normierten Eigenvektor z zu λ. Die Folge {‖ym‖}m∈ℕ konvergiert gegen |λ|.

Sind A und x0 reell (und damit auch alle xj), beendet man die Iteration typischerweise, wenn ||dm+1|| klein genug ist, wobei dm+1 = xm+1τm+1xm und τm+1 = sgn(xm+1)i/ sgn(xm)i für die maximale Komponente (xm)i des Vektors xm. Man setzt dann λ = τm+1ym+1‖ und z = xm+1.

Im Prinzip kann man hier jede Vektornorm || · || verwenden. Vielfach wählt man als Vektornorm die Maximumnorm || · ||, die Potenzmethode nennt man dann auch von Mises-Verfahren.

Mit der Potenzmethode läßt sich für eine gegebene Matrix A nur ein einzelner Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor berechnen. Um weitere Eigenwerte und Eigenvektoren zu erhalten, kann man die Matrix A mittels Deflation in eine Matrix B überführen, deren Spektrum alle Eigenwerte von A außer dem bereits berechneten enthält. Anschließend wendet man dann die Potenzmethode auf B an.

Man kann auch den Ansatz der Potenzmethode verallgemeinern, indem man die Iteration statt mit einem einzelnen Startvektor x0 mit einer (n × p)-Startmatrix X0 startet, um p Eigenwerte und den zugehörigen Eigenraum gleichzeitig zu bestimmen. Dies führt auf Unterraum-Iterationsmethoden.

Neben dem Nachteil, nur Eigenwerte und Eigenvektoren zu betragsgrößten Eigenwerten bestimmen zu können, hat die Potenzmethode den weiteren Nachteil der oft langsamen Konvergenz. Dies kann durch Anwendung der inversen Iteration von Wielandt vermieden werden.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte