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Lexikon der Mathematik: Randverteilung

auch Marginalverteilung, Bildmaß der Verteilung eines zufälligen Vektors unter einer Projektion.

Es sei X = (X1, …, Xn) ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝔄, P) definierter zufälliger Vektor mit Werten in ℝn. Dann heißt für jede Teilmenge I = {i1, …, ik} ⊆ {1, …, n} das Bildmaß der Verteilung PX von X unter der durch

\begin{eqnarray}({x}_{1},\ldots,{x}_{n})\to ({x}_{{i}_{1}},\ldots,{x}_{{i}_{k}})\end{eqnarray}

definierten Projektion eine k-dimensionale Randoder Marginalverteilung von X.

Die k-dimensionale Randverteilung von X bezüglich I ist somit die Verteilung des zufälligen Vektors \(({X}_{{i}_{1}},\ldots,{X}_{{i}_{k}})\). Insbesondere sind die eindimensionalen Randverteilungen von PX die Verteilungen \({P}_{{X}_{1}},\ldots,{P}_{{X}_{n}}\) der Zufallsvariablen X1, …, Xn. Die eindimensionalen Randverteilungen bestimmen die Verteilung von X dann und nur dann, wenn die X1, …, Xn stochastisch unabhängig sind.

Besitzt PX eine Dichte \(f:{{\mathbb{R}}}^{n}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\), so ist für alle i = 1, …, n die durch

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{f}_{i}(x) & = & \displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\mathbb{R}}}^{n-1}}f({x}_{1},\ldots {x}_{i-1},x,{x}_{i+1},\ldots,{x}_{n})\\ & & \quad\quad\quad\quad d{x}_{1}\ldots d{x}_{i-1}d{x}_{i+1}\cdots d{x}_{n}\end{array}\end{eqnarray}

definierte Funktion \(f_i:{\mathbb{R}}\to {{\mathbb{R}}}_{0}^{+}\) nach dem Satz von Fubini eine Dichte der eindimensionalen Randverteilung \({P}_{{X}_{i}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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