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Lexikon der Mathematik: Raum der binären Formen

Vektorraum Vk aller homogenen reellen Polynome ungeraden Grades 2k + 1 in zwei Variablen x, y für gegebenes k ∈ ℕ.

Vk wird ein symplektischer Vektorraum, wobei die symplektische 2-Form ω auf den Basispolynomen \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{X}_{a}(a,y):={x}^{a}{y}^{2k+1-a}, & 0\le a\le 2k+1\end{array}\end{eqnarray} durch \begin{eqnarray}\omega ({X}_{a},{X}_{b}):=\left\{\begin{array}{cl}{(-1)}^{a}a!b! & \text{falls}\,b=2k+1-a\\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray} erklärt wird, ω ist die bis auf ein nichtverschwindendes reelles Vielfaches eindeutige symplektische 2-Form auf Vk, die unter der Wirkung der Lie-Gruppe SL(2, ℝ) aller reellen (2 × 2)-Matrizen mit Determinante 1 invariant ist. Identifiziert man Vk mit dem Raum aller Polynome in einer Variablen x vom Grade 2k + 1, so läßt sich ω auch in der Form \begin{eqnarray}\omega (f,g)=\mathop{\sum ^{2k+1}}\limits_{a=0}{(-1)}^{a}{f}^{(a)}{g}^{(2k+1-a)}\end{eqnarray} ausdrücken. Der Fluß der Hamilton-Funktion \(H(f):=(1/2)\omega (f,{f}^{\prime})\) bewirkt gerade Translationen der Polynome entlang der x-Achse.

Durch die zusätzliche Struktur eines Raums von Polynomen ermöglicht Vk viele interessante Untermannigfaltigkeiten, die an die Nullstellen der Polynome geknüpft sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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