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Lexikon der Mathematik: Raum ultradifferenzierbarer Funktionen

spezieller Raum von C-Funktionen.

Sei \(\Omega \subset {{\mathbb{R}}}^{d}\) offen, und sei (mn) eine Folge positiver Zahlen mit \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{m}_{n}^{2}\le {m}_{n-1}{m}_{n+1} & \text{und} & \sum \limits_{n}{m}_{n}/{m}_{n+1}\lt \infty.\end{array}\end{eqnarray} Der Raum ultradifferenzierbarer Funktionen \({\varepsilon }_{\{{m}_{n}\}}(\Omega )\) besteht aus allen \(f\in {C}^{\infty }(\Omega )\) so, daß für jede kompakte Teilmenge K ⊂ Ω Konstanten CK und AK mit \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{x\in K}|{D}^{\alpha }f(x)|\le {A}_{K}{C}_{K}^{|\alpha |}{m}_{|\alpha |}\end{eqnarray} für alle Multiindizes α existieren; für die Definition des Raums \({\varepsilon }_{({m}_{n})}(\Omega )\) sind die Quantoren „\(\exists {C}_{K}\,\exists {A}_{K}\)“ durch die Quantoren „\(\forall C\,\exists {A}_{K,C}\)“ zu ersetzen.

Die Wahl \({m}_{n}={(n!)}^{s},s\ge 1\), führt auf die Gevrey-Klassen. Elemente des Dualraums des – geeignet topologisierten – Raums \({\varepsilon }_{\{{m}_{n}\}}(\Omega )\) werden Ultradistributionen genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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