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Lexikon der Mathematik: Reynolds-Operator

Projektion auf den Ring der invarianten Funktionen.

Es sei G eine Gruppe, die durch eine Darstellung ϱ : G → Aut(R) von G in die Automorphis-mengruppe des (kommutativen) Ringes R operiert, und RGR der Ring der invarianten Funktionen. Ein Homomorphismus (von abelschen Gruppen) π : RRG heißt Reynolds-Operator, wenn π die Identität auf RG induziert, d. h., wenn RG direkter Summand von R ist. Ein Reynolds-Operator existiert nicht immer.

Beispiele:

  1. Ist G eine endliche Gruppe, dann ist \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\pi = \displaystyle\frac{1}{|G|}\end{array}\sum _{g\in G}g\end{eqnarray} ein Reynolds-Operator.
  2. Ist allgemeiner G eine reduktive Gruppe, dann existiert stets ein Reynolds-Operator.
  3. Ist G die additive Gruppe, die über ein lokal nilpotentes Vektorfeld δ ∈ Der(R) operiert, d. h. für gG, rR ist \begin{eqnarray}g\cdot r=\displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }\frac{1}{v!}{\delta }^{v}(r){g}^{v},\end{eqnarray} und ist δ(x) = 1 für ein xR, dann existiert ein Reynolds-Operator \begin{eqnarray}\pi =\displaystyle \sum _{\upsilon =0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{\upsilon }}{\upsilon !}{x}^{\upsilon }{\delta }^{\upsilon }.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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