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Lexikon der Mathematik: Robertson-Seymour, Graph-Minor-Satz von

bestätigt die Vermutung von Wagner (Wagner, Vermutung von) und sagt aus, daß es für jede unendliche Folge G1, G2,…von Graphen Indizes i < j so gibt, daß Gi ein Minor (Minor eines Graphen) von Gj ist.

Definiert man eine Relation „≤“ auf der Menge aller Graphen dadurch, daß GG′ genau dann gilt, wenn G ein Minor von G′ ist, dann sagt der Satz von Robertson-Seymour aus, daß ≤ eine WohlQuasi-Ordnung auf der Menge aller Graphen ist.

Der Beweis dieses Satzes ist in einer Reihe von über 20 Artikeln von N. Robertson und P. Seymour unter dem Namen „graph-minor-project“ enthalten, die seit 1983 in einem Zeitraum von über 15 Jahren erschienen sind, und zählt zu den schwierigsten und tiefsten Beweisen in der Graphentheorie. Seine Autoren entwickelten für ihn die Theorie der Minoren und Baumweite von Graphen.

Weitere wichtige Ergebnisse dieser Theorie sind z. B. folgende Aussagen:

  • Für einen festen Graphen H gibt es einen Algorithmus, der in polynomialer Zeit entscheidet, ob H ein Minor eines Graphen G ist.
  • Für ein festes k gibt es einen Algorithmus, der in polynomialer Zeit entscheidet, ob es in einem Graphen G für zwei Eckenmengen \(\{{x}_{1},{x}_{2},\ldots, {x}_{k}\}\subseteq E(G)\) und \(\{{y}_{1},{y}_{2},\ldots, {y}_{k}\}\subseteq E(G)\)k eckendisjunkte Wege \({p}_{1},{p}_{2},\ldots, {p}_{k}\) so gibt, daß Pi für 1 ≤ ik jeweils die Ecken xi und yi verbindet.
  • Für jede Klasse von Graphen, die unter der Bildung von Minoren abgeschlossen ist, (d.h., mit jedem Graphen enthält die Klasse auch alle seine Minoren,) existiert eine Charakterisierung mittels endlich vieler verbotener Minoren, und ein polynomialer Erkennungsalgorithmus.
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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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