insbesondere im Zusammenhang mit Grenzwertsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtiger Konvergenzbegriff für Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Es sei (S, d) ein mit der von der Metrik d induzierten Topologie versehener metrischer Raum. Eine Folge (P_n)_n∈ℕ von auf der Borel-σ-Algebra \({\mathfrak{B}}(S)\) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßen konvergiert schwach gegen ein ebenfalls auf \({\mathfrak{B}}(S)\) definiertes Wahrscheinlichkeitsmaß P, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }\,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{S}fd{P}_{n}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{S}fdP\end{eqnarray} für alle stetigen und beschränkten Funktionen f : S → ℝ gilt. Man schreibt dann P_n ⇒ P. Die schwache Konvergenz von (P_n)_n∈ℕ gegen P ist zur wesentlichen Konvergenz von (P_n)_n∈ℕ gegen P äquivalent. Weitere äquivalente Charakterisierungen der schwachen Konvergenz liefert das Portmanteau- Theorem.

Die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen kann auch als Konvergenz im topologischen Sinne erkannt werden, wenn man den topologischen Raum \(({\mathfrak{M}}(S),{\mathscr{W}})\) betrachtet, wobei \({\mathfrak{M}}(S)\) die Menge der auf \({\mathfrak{B}}(S)\) definierten Wahrschein-lichkeitsmaße und \({\mathscr{W}}\) die Topologie der schwachen Konvergenz bezeichnet. Eine Folge (X_n)_n∈ℕ reeller Zufallsvariablen konvergiert genau dann in Verteilung gegen eine reelle Zufallsvariable X, wenn die Folge der Verteilungen der X_n schwach gegen die Verteilung von X konvergiert; siehe hierzu auch schwache Konvergenz.