die Fouriertransformierte der Autokovarianzfunktion (Kovarianzfunktion) eines im weiteren Sinne stationären stochastischen Prozesses.

Sei (X(t))_t∈T⊆ℤ ein im weiteren Sinne stationärerstochastischer Prozeß mit diskretem Zeitbereich T und dem (meßbaren) Zustandsraum \([E, {\mathcal B} ],E\subseteq {\mathbb{C}}\). Die Funktion \begin{eqnarray}\sigma (h)=:E(X(t)-EX(t))(X(t+h)-EX(t+h))\end{eqnarray} sei die Autokovarianzfunktion von (X(t))_t∈T. Dannist die Spektraldichte gegeben durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{f}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\left\{\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{h=-\infty}\sigma (h){e}^{-ih\lambda}\right\}, & -\pi \le \lambda \le \pi.\end{array}\end{eqnarray} Für die Existenz der Spektraldichte ist dabei hinreichend, daß für ihre Kovarianzfunktion gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{h=-\infty}|\sigma (h)|\lt \infty.\end{eqnarray} In Umkehrung der Formel (1) erhält man die Kovarianzfunktion σ(h) aus der Spektraldichte wie folgt: \begin{eqnarray}\sigma (h)=\mathop{\mathop{\int}\limits^{\pi}}\limits_{-\pi}{e}^{ih\lambda}f(\lambda)d\lambda.\end{eqnarray} Ist (X(t))_t∈T⊆ℝ ein stetiger stationärer Prozeß, sosind die Formeln (1)-(3) durch die folgenden zuersetzen: \begin{eqnarray}{f}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\infty}}\limits_{-\infty}\sigma (t){e}^{-it\lambda}dt,-\infty \lt \lambda \lt \infty,\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\infty}}\limits_{t=-\infty}|\sigma (t)|dt\lt \infty,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\sigma (t)=\mathop{\mathop{\int}\limits^{\infty}}\limits_{-\infty}{e}^{ih\lambda}f(\lambda)d\lambda.\end{eqnarray} Ist der Prozeß (X(t))_t∈T reellwertig (E ⊆ ℝ), so istdie Spektraldichte f_X(λ) eine reellwertige gerade Funktion in λ. Die Formeln (1) und (4) vereinfachen sich in diesem reellen Fall zu \begin{eqnarray}{f}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\left\{\sigma (0)+2\mathop{\sum ^{\infty}}\limits_{h=1}\sigma (h)\cos (h\lambda)\right\}\end{eqnarray} bzw. \begin{eqnarray}{f}_{X}(\lambda)=\frac{1}{2\pi}\mathop{\mathop{\int}\limits^{\infty}}\limits_{0}\sigma (t)\cos (t\lambda)dt.\end{eqnarray} Autokovarianzfunktion und Spektraldichte einer Zeitreihe sind nur zwei Seiten ein- und derselben Medaille. Beide beschreiben äquivalent die Art der Abhängigkeiten der Zeitreihe zu verschiedenen Zeitpunkten X(t) und X(t + h), die Autokovarianz-funktion im Zeitbereich (Variable: Zeitdifferenz h) und die Spektraldichte im Frequenzbereich (Variable: Frequenz λ).

Siehe auch Spektralmaß.