das Problem der Darstellung von Brüchen als Summen von Stamm-brüchen.

Bereits in alten ägyptischen Texten finden sich Tabellen, in denen Brüche der Form \(\frac{2}{n}\) als Summenvon Stammbrüchen dargestellt sind. Nach einem Algorithmus, den Fibonacci in seinem Liber abbaci beschreibt, läßt sich jeder Bruch der Formn \(\frac{k}{n}\) als Summe von höchstens k Stammbrüchenschreiben: Man spalte in jedem Schritt den größten Stammbruch \(\frac{1}{m}\) ab, der den Rest \(\frac{k}{m}-\frac{1}{m}\)nicht-negativ macht, z. B. \begin{eqnarray}\frac{4}{17}=\frac{1}{5}+\frac{1}{29}+\frac{1}{1233}+\frac{1}{3039345}.\end{eqnarray} Hier gibt es eine schönere Darstellung: \begin{eqnarray}\frac{4}{17}=\frac{1}{6}+\frac{1}{15}+\frac{1}{510}.\end{eqnarray} In diesem Zusammenhang gibt es eine interessante Vermutung:

Für alle Zähler k existiert ein n₀(k) > k derart, daß für jedes n > n₀(k) der Bruch \(\frac{k}{n}\)als Summe von höchstens drei Stammbrüchen darstellbar ist.