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Lexikon der Mathematik: Störungstheorie

vor allem in der mathematischen Physik verwendeter Begriff.

Wenn innerhalb einer physikalischen Theorie bestimmte Lösungen in geschlossener Form bekannt sind, dann ist es oft sinnvoll, um diese bekannte Lösung herum eine Reihenentwicklung durchzuführen, um brauchbare Näherungslösungen in der Nähe zu finden. In vielen Fällen genügt dann die erste Näherung, die mathematisch der Linearisierung der nichtlinearen Feldgleichung um die bekannte Lösung herum entspricht. Es ist durchaus auch sinnvoll, die triviale Lösung (das Vakuum) als Ausgangslösung zu verwenden.

Spezieller unterscheidet man noch Störungstheorien in verschiedenen Teildisziplinen, vor allem in Himmelsmechanik und Quantentheorie.

Bei der Himmelsmechanik wird die Planetenbahn als bekannte Ellipsenbahn mit der Sonne im Brennpunkt angesehen, und mittels der Störungstheorie wird die gegenseitige Beeinflussung der Planeten untereinander, sowie die Abweichung des Sonnenkörpers von der genauen Kugelgestalt berücksichtigt.

In der Quantentheorie ist es oft der Hamiltonian des harmonischen Oszillators, der als bekannte Ausgangslösung verwendet wird: Dort haben aufeinanderfolgende Energieniveaus stets denselben Abstand und sind explizit bekannt. Mit der Stö-rungstheorie werden dann beispielsweise die Werte der Energieniveaus des anharmonischen Oszillators berechenbar.

In der Quantenfeldtheorie wird die Störungstheorie oft so angewandt, daß der bekannte Ausgangsfall derjenige ist, in dem die Felder frei sind, d. h., die Wechselwirkung vernachlässigt wird, und dann durch eine Störungsreihe die Wechselwirkung mit schrittweise zunehmender Genauigkeit berücksichtigt wird. Geometrisch läßt sich dies durch Feynman-Diagramme repräsentieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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