Methoden zur Optimierung von nicht überall differenzierbaren Funktionen.

Sei f : ℝⁿ → ℝ eine konvexe Funktion. Als solche ist f subdifferenzierbar, d. h. für alle x ∈ ℝⁿ ist die Menge ∂f(x₀) nicht leer. Zunächst gilt in Analogie zu der entsprechenden Optimalitätsbedingung erster Ordnung, daß f genau in dem Falle einen lokalen Minimalpunkt in \(\bar{x}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) hat, falls 0 ∈ ∂f(x₀) zutrifft. Ein typisches Subgradientenverfahren beginnt mit einem Startvektor x₀ und erzeugt Iterierte x_k wie folgt: In Schritt k berechne man ein Element γ_k ∈ ∂f(x_k). Falls γ_k = 0 ist, so ist x_k optimal. Andernfalls berechnet man \begin{eqnarray}{x}_{k+1\text{}}:=\text{}{x}_{k}-\text{}{t}_{k}\cdot\frac{{\gamma}_{{k}}}{\text{||}{\gamma}_{k}||}\quad ({t}_{k}\text{}\gt \text{}0)\end{eqnarray}

und iteriert erneut, bis ein Stoppkriterium erfüllt ist. Nicht differenzierbare Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen lassen sich ähnlich behandeln.