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Lexikon der Mathematik: total-stetige Funktion

auch absolut stetige Funktion, eine Funktion F : ℝ → ℝ mit der Eigenschaft, daß für jedes ϵ > 0 ein δ(ϵ) > 0 so existiert, daß für alle n ∈ ℕ und alle disjunkten Intervallsysteme \(\{({a}_{i},{b}_{i})|i=1,\ldots,n\}\subseteq {\mathcal{P}}({\mathbb{R}})\) mit \(\displaystyle {\sum}_{i=1}^{n}|{b}_{i}-{a}_{i}|\lt \delta \) gilt: \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|F({b}_{i})-F({a}_{i})|\lt \varepsilon.\end{eqnarray}

Jede total-stetige Funktion F ist gleichmäßig stetig und von beschränkter Variation sowie Lebesgue-fast-überall differenzierbar. Ist diese Ableitung Lebesgue-fast-überall gleich 0, so ist F konstant. Ist μ ein endliches signiertes Maß auf \({\mathcal{B}}({\mathbb{R}})\), so ist μ eine stetige Mengenfunktion bzgl. des Lebesgue-Maßes, falls die Funktion F(x) ≔ μ([−∞, x]), die von beschränkter Variation ist, total-stetig ist. Es gilt, daß die Ableitung F′ an allen Stetigkeitsstellen der Radon-Nikodym-Ableitung von μ bzgl. des Lebesgue-Maßes, also Lebesgue-fast-überall, existiert und dort gleich dieser Radon-Nikodym-Ableitung ist. Weiter gilt, falls man F′(x) = 0 setzt an allen Stellen x, an denen F′ nicht existiert, der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für das Lebesgue-Integral: \begin{eqnarray}F(x)=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{(-\infty,x]}{F}^{\prime}(x)d\lambda (x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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