Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: transfiniter Durchmesser

Maßzahl einer kompakten Menge K ⊂ ℂ, die wie folgt definiert ist:

Für n ∈ ℕ, n ≥ 2 sei zunächst \begin{eqnarray}{{\rm{\Delta}}}_{n}={{\rm{\Delta}}}_{n}(K):=\mathop{\max}\limits_{{z}_{1},\ldots c,{z}_{n}\in K}\mathop{\displaystyle \prod _{k=1\\ \,\,\,{k\ne j}}^{n}\displaystyle \prod _{{j=1}}^{n}|{z}_{k}-{z}_{j}|}.\end{eqnarray}

Das Maximum wird für die sog. Fekete-Punkte \begin{eqnarray}{z}_{k}={z}_{nk}\in K,\ \ \ \ k=1,\ldots c,n,\ \ \ n\in {\mathbb{N}}\end{eqnarray} angenommen. Dieses Punktsystem ist im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Bezeichnet G die unbeschränkte Zusammenhangskomponente von ℂ\K, so folgt znk ∈ ∂G. Man kann jetzt Δn mit Hilfe einer Vandermonde-Determinante ausdrucken \begin{eqnarray}{{\rm{\Delta}}}_{n}={\left|\det \left(\begin{array}{ccccc}1 & {z}_{n1} & {z}_{n1}^{2} & \cdots & {z}_{n1}^{n-1}\\ 1 & {z}_{n2} & {z}_{n2}^{2} & \cdots & {z}_{n2}^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & {z}_{nn} & {z}_{nn}^{2} & \cdots & {z}_{nn}^{n-1}\end{array}\right)\right|}^{2}.\end{eqnarray}

Ist \begin{eqnarray}{q}_{n}(z):=\displaystyle \prod _{k=1}^{n}(z-{z}_{nk})\end{eqnarray} das n-te Fekete-Polynom, und \begin{eqnarray}{\gamma}_{n}={\gamma}_{n}(K):=\mathop{\min}\limits_{k=1,\ldots c,n}|{q}_{n}^{\prime}({z}_{nk})|,\end{eqnarray} so erhält man \({{\rm{\Delta}}}_{n}\le {\gamma}_{n}^{2}{{\rm{\Delta}}}_{n-1}\), und hieraus \begin{eqnarray}{\left(\frac{{{\rm{\Delta}}}_{n}}{{{\rm{\Delta}}}_{n-1}}\right)}^{n/2}\le {\gamma}_{n}^{n}\le {{\rm{\Delta}}}_{n}.\end{eqnarray}

Dies impliziert, daß die Folge \begin{eqnarray}({{\rm{\Delta}}}_{n}^{1/[n(n-1)]})\end{eqnarray} monoton fallend und daher konvergent ist. Der Grenzwert \begin{eqnarray}\text{cap}\ K:=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty}\ \ {{\rm{\Delta}}}_{n}^{\frac{1}{n(n-1)}}\end{eqnarray} heißt transfiniter Durchmesser von K.

Man kann zeigen, daß der transfinite Durchmesser von K mit der Kapazität von K übereinstimmt. Daher wird für Eigenschaften und Beispiele auf dieses Stichwort verwiesen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos