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Lexikon der Mathematik: Transformationssatz für Lebesgue-Integrale

maßtheoretische Version des Transformationssatzes von Jacobi.

Es sei A eine offene Teilmenge vond, φ : A → ℝd stetig differenzierbar, C ≔ {xA| Rang Dφ(x) < d} die Menge der kritischen Punkte von φ, und φ, eingeschränkt auf A \ C, injektiv.

Dann ist eine Funktion \(f:\phi (A)\to \bar{{\mathbb{R}}}\)genau dann \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\)-integrierbar, wenn fφ| det | \({\lambda}_{A}^{d}\)-integrierbar ist, und es gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int}\limits_{\phi (A)}fd{\lambda}^{d}=\displaystyle \mathop{\int}\limits_{A}f\circ \phi |\det D\phi |d{\lambda}^{d}.\end{eqnarray}

Dabei ist λd das Lebesgue-Maß auf \({\mathcal{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\), \({\lambda}_{A}^{d}\) das Lebesgue-Maß auf A, und \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\) das Bildmaß von \({\lambda}_{A}^{d}\) bzgl. der Abbildung φ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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