Lexikon der Mathematik: Transformationssatz für Lebesgue-Integrale
maßtheoretische Version des Transformationssatzes von Jacobi.
Es sei A eine offene Teilmenge von ℝd, φ : A → ℝd stetig differenzierbar, C ≔ {x ∈ A| Rang Dφ(x) < d} die Menge der kritischen Punkte von φ, und φ, eingeschränkt auf A \ C, injektiv.
Dann ist eine Funktion \(f:\phi (A)\to \bar{{\mathbb{R}}}\)genau dann \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\)-integrierbar, wenn f ∘ φ| det Dφ| \({\lambda}_{A}^{d}\)-integrierbar ist, und es gilt
Dabei ist λd das Lebesgue-Maß auf \({\mathcal{B}}({{\mathbb{R}}}^{d})\), \({\lambda}_{A}^{d}\) das Lebesgue-Maß auf A, und \({\lambda}_{\phi (A)}^{d}\) das Bildmaß von \({\lambda}_{A}^{d}\) bzgl. der Abbildung φ.
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