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Lexikon der Mathematik: Uniformisierung

Darstellung einer projektiven algebraischen Varietät X über dem Körper ℂ in der Form D/Γ mit einem einfach zusammenhängenden Gebiet D ⊆ ℂn und einer Gruppe Γ von analytischen Automorphismen.

Wenn D ein beschränktes Gebiet ist und Γ eine Gruppe von analytischen Automorphismen von D, die eigentlich-diskontinuierlich und frei auf D operiert, und für die der Quotient D/Γ = X kompakt ist, so ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit mit amplem kanonischem Bündel, also insbesondere eine projektive algebraische Mannigfaltigkeit.

Die Einbettung in einen projektiven Raum erhält man durch sog. automorphe Formen. Eine automorphe Form vom Gewicht ist eine analytische Funktion f : D → ℂ, die den Funktionalgleichungen \begin{eqnarray}f(gz)={J}_{g}^{\ell}(z)f(z)\ (g\in {\rm{\Gamma}})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{J}_{g}(z)=\det \left(\frac{\partial {g}_{\alpha}}{\partial {z}_{\beta}}\right)\end{eqnarray} für g(z) = (g1(z), …,gn(z)) genügt. Sie entsprechen den holomorphen n-Formen vom Gewicht auf X, d.h. den Schnitten von \({({{\rm{\Omega}}}_{X}^{n})}^{\otimes \ell}\), da f (dz1dzn) Γ-invariante n-Formen vom Gewicht auf D sind. Wenn D = ℂn und Γ ein Gitter in ℂn ist, erhält man eine projektive Einbettung von D/Γ durch Thetafunktionen, sofern eine Riemannsche Form existiert.

Die Frage, ob man eine algebraische Varietät auf diese Weise darstellen kann, führt zu der Frage nach der Struktur der universellen Überlagerung \(\tilde{X}\) einer projektiven algebraischen Varietät. Für dimX = 1 ist die Antwort klassisch, man erhält entweder \(\tilde{X}=X={{\mathbb{P}}}^{1}({\mathbb{C}})\) oder \(\tilde{X}={\mathbb{C}}\), X = ℂ/Γ, Γ ein Gitter, oder \(\tilde{X}=D\), D die Einheitskreisscheibe, X = D/Γ. Für dimX > 1 ist die Frage noch weitgehend ungeklärt. Shafarevich hat die Frage aufgeworfen, ob vielleicht die universelle Überlagerung \(\tilde{X}\) einer projektiven algebraischen Varietät immer holomorph konvex als analytischer Raum ist. Dies wird auch häufig als Shafarevich-Vermutung bezeichnet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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