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Lexikon der Mathematik: Vektorraum

linearer Raum, genauer Vektorraum über einem Körper 𝕂, Tripel (V, +, ·), bestehend aus einer nicht leeren Menge V, einer Abbildung + : V × VV (Vektoraddition) und einer Abbildung · : 𝕂 × VV (Skalarmultiplikation, äußere Multiplikation), das für alle v1, v2, vV und alle λ1, λ2, λ ∈ 𝕂 die folgenden Eigenschaften hat:

  1. Die Menge 𝕂n = M(n, 1; 𝕂) aller n-Tupel mit Einträgen aus einem Körper 𝕂 bildet bezüglich der elementweise definierten Verknüpfungen einen 𝕂-Vektorraum, allgemeiner auch die Menge aller (m × n)-Matrizen über 𝕂.
  2. Die Menge aller Abbildungen einer nicht leeren Menge in einen 𝕂-Vektorraum bildet bezüglich der elementweise definierten Verknüpfungen einen 𝕂-Vektorraum.
  3. Ist 𝕂 ein Teilkörper von 𝕂′, so wird 𝕂′ mit den durch (x, y) ↦ x + y und (α, x) ↦ αx definierten Verknüpfungen zu einem 𝕂-Vektorraum.
  4. Die Menge 𝕂(t) aller Polynome mit Koeffizienten in 𝕂 in der Unbestimmten t bildet bezüglich der üblichen Verknüpfungen einen 𝕂-Vektorraum.
  5. Die Menge der stetigen reellwertigen Funktionen auf einem abgeschlossenen reellen Intervall bildet bzgl. der elementweise definierten Verknüpfungen einen reellen Vektorraum.
  6. Sei ∼ die Äquivalenzrelation auf der Menge P der gerichteten Pfeile („Vektoren“) im Anschauungsraum mit P1 ~ P2 genau dann, falls sich P1 durch Parallelverschiebung in P2 überführen läßt. Die Menge P/ ∼ bildet dann bzgl. „Hintereinanderhängen“ und „Verlängern “ einen reellen Vektorraum.
  7. Der nur aus der Null bestehende triviale Vektorraum {0} ist Vektorraum über jedem Körper. Eine ® Basis dieses Vektorraumes ist gegeben durch eine leere Familie.

Die Vektorräume stellen die algebraische Grundstruktur dar, die in der Linearen Algebra untersucht wird. Das wichtigste Hilfsmittel hierzu sind die linearen Abbildungen.

[1] Fischer, F.: Lineare Algebra. Vieweg Braunschweig/Wies baden 1995.
[2] Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie, Springer Berlin Heidelberg New York, 1997.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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