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Lexikon der Mathematik: Weierstraßscher Doppelreihensatz

lautet:

Es seien für k ∈ ℕ0

\begin{eqnarray}{{f}_{k}}( z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{kn}}{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{n}},}\end{eqnarray}

Potenzreihen mit Konvergenzkreis Br(z0), wobei z0 ∈ ℂ und r > 0. Weiter sei die Funktionenreihe \(\sum\nolimits_{k=0}^{\infty }{{{f}_{k}}}\)kompakt konvergent in Br(z0) gegen die Grenzfunktion f.

Dann ist f eine ↗ holomorphe Funktion in Br(z0) und hat in Br(z0) die Potenzreihendarstellung

\begin{eqnarray}f\left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\left( \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{kn}}} \right){{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{n}}.}\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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