Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: zweidimensionale Wavelets

die Funktionen, die das orthogonale Komplement W0 von V0 in V1 aufspannen, wobei V0 der Grundraum einer zweidimensionalen Multiskalenanalyse ist (zweidimensionale Wavelet-Basis).

Ein einfacher Weg, eine orthonormale Basis für L2(ℝ2) zu konstruieren, ist, mit einer orthonorma-len Basis des L2(ℝ) zu beginnen und dann Tensorprodukte der eindimensionalen Funktionen zu betrachten. Man startet mit einem orthogonalen eindimensionalen Wavelet ψ und einer orthogonalen eindimensionalen Skalierungsfunktion φ. Dann betrachtet man das Tensorprodukt φ(x)φ(y) in V0 und erzeugt mit der Dilatationsmatrix \begin{eqnarray}A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\ 0 & 2\end{array}\right)\end{eqnarray} eine Multiskalenanalyse des L2(ℝ2). Zur Erzeugung des Komplementraums W0 werden | det(A) | − 1 (= 3 in diesem Fall) Wavelets benötigt. Diese werden aus den Grundfunktionen \begin{eqnarray}\phi (x)\psi (y),\,\,\psi (x)\phi (y),\,\,\psi (x)\psi (y)\end{eqnarray} wie im eindimensionalen Fall durch Translation und Skalierung erzeugt. Die so erzeugten Wavelets und Skalierungsfunktionen nennt man separabel.

Man kann zweidimensionale Wavelets auch direkt mit Hilfe eines zweidimensionalen Generators, zum Beispiel eines Box-Splines, erzeugen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel zweidimensionale Wavelets
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
 Bild vergrößern

Zweidimensionales Wavelet

Eine weitere Möglichkeit ist es, von der Diagonalmatrix A verschiedene Dilatationsmatrizen zu verwenden. Beispielsweise ist die Rotationsmatrix \begin{eqnarray}M=\left(\begin{array}{cc}1 & -1\\ 1 & 1\end{array}\right)\end{eqnarray}

eine geeignete Wahl für eine Skalierungsmatrix. Die Verallgemeinerung der Haar-Funktion führt in diesem Fall auf die Indikatorfunktion einer frak-talen Menge, den sogenannten twin dragon. Wegen | det(M)| = 2 ist hier nur ein Wavelet (1 = | det(M)| − 1) nötig, um den Komplementraum zu erzeugen.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos