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Lexikon der Mathematik: zweidimensionale Wavelet-Basis

für viele Anwendungen, beispielsweise in der Bildverarbeitung, interessante Verallgemeinerung einer eindimensionalen Wavelet-Basis.

Geht man von einer zweidimensionalen Multi-skalenzerlegung {Vj}j∈ℤ mit Dilatationsmatrix A aus, dann existieren |det A| − 1 viele Wavelets \begin{eqnarray}{\psi }_{1},{\psi }_{2},\ldots, {\psi }_{|\text{det}A|-1}\in {V}_{1},\end{eqnarray} die eine Orthonormalbasis des orthogonalen Komplements von V0 in V1 erzeugen. Damit hat man eine orthogonale Zerlegung von V1 in |detA| viele Unterräume \begin{eqnarray}{V}_{1}=\underset{N=1}{\overset{|\det A|-1}{\oplus }}{W}_{0,N}\oplus {V}_{0},\end{eqnarray} wobei \begin{eqnarray}{W}_{0,N}=\overline{\text{span}\{{\psi }_{N}(\cdot -k)|k\in {\mathbb{Z}}\}}\end{eqnarray} ist. Man kann zeigen, daß die Familie \begin{eqnarray}\{{\psi }_{N,j,k}=|\det A{|}^{-j/2}{\psi }_{N}({A}^{j}\cdot -k)|N=1,\ldots |\det A|-1,j\in {\mathbb{Z}}.k\in {{\mathbb{Z}}}^{2}\}\end{eqnarray} eine Orthonormalbasis des L2(ℝ2)ist.

Völlig analog werden mehrdimensionale Wavelet-basen definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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