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Lexikon der Mathematik: zweidimensionale Skalierungsfunktion

in der Theorie der Wavelets Grundfunktion einer Multiskalenzerlegung (Multiskalenanalyse) des L2(ℝ2).

Die einfachste Möglichkeit, eine zweidimensionale Skalierungsfunktion zu erzeugen, ist, das Tensorprodukt φ(x)φ(y) zu bilden, wobei φ eine 1D-Skalierungsfunktion ist (Tensorprodukt-Wavelet). Auf diese Art erhält man eine separable Skalierungsfunktion einer Multiskalenzerlegung des L2(ℝ2). Die zugehörige Dilatationsmatrix ist in diesem Fall \begin{eqnarray}A=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\ 0 & 2\end{array}\right).\end{eqnarray} Die Verallgemeinerung auf L2(ℝn) funktioniert völlig analog.

Allgemein wird bei einer mehrdimensionalen Multiskalenzerlegung {Vj}j∈ℤ des L2(ℝn) der Übergang von Vj zur feineren Skala Vj+1 mit Hilfe einer regulären Matrix A, der Dilatationsmatrix, beschrieben: \begin{eqnarray}f\in {V}_{j}\iff f(A\cdot )\in {V}_{j+1}.\end{eqnarray} Die Anwendung der Dilationsmatrix soll eine Streckung in jede Richtung bewirken, daher fordet man, daß ihre Eigenwerte betragsmäßig größer als 1 sind. Weiter soll A ganzzahlige Einträge besitzen, d. h. es soll An ⊂ ℤn gelten.

Zur Konstruktion anderer zweidimensionaler Skalierungsfunktionen, die weitere als den Tensorproduktansatz verwenden, werden häufig Dilatationsmatrizen mit |det A| = 2 betrachtet. Eine beliebte Wahl ist die Matrix \begin{eqnarray}A=\left(\begin{array}{cr}1 & -1\\ 1 & 1\end{array}\right).\end{eqnarray} Ein Vorteil bei der Verwendung einer solchen Dilatationsmatrix ist die Reduktion der Anzahl der Wavelets, die nötig sind, um den Komplementraum aufzuspannen. Man benötigt im obigen Beispiel nur |det A| − 1 = 1 Wavelets. Ein weiterer Vorteil gegenüber dem Tensorproduktansatz zur Erzeugung zweidimensionaler Wavelets ist, daß eine Rotationskomponente eingebaut wird.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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