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Lexikon der Mathematik: Tensorprodukt-Wavelet

mehrdimensionales Wavelet, das mittels Tensorprodukten eindimensionaler Funktionen gebildet wird.

Im zweidimensionalen Fall werden beispielsweise Tensorprodukt-Wavelets durch Tensorprodukte eindimensionaler Wavelets ψ bzw. Generatoren ϕ wie folgt gebildet: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\psi}^{(0,1)}(x,y) & := & \phi (x)\psi (y)\\ {\psi}^{(1,0)}(x,y) & := & \psi (x)\phi (y)\\ {\psi}^{(1,1)}(x,y) & := & \psi (x)\psi (y).\end{array}\end{eqnarray}

Dieser Ansatz läßt sich in direkter Weise auf n-dimensionale Wavelets verallgemeinern; als Ausgangsfunktion kann ein beliebiges eindimensionales Wavelet, z. B. das Daubechies-Wavelet, mit zugehörigem Generator verwendet werden. Man benötigt 2n − 1 Funktionen (sog. mother wavelets), um eine Waveletbasis des L2(ℝn) aus Tensorprodukten eindimensionaler Wavelets zu erhalten.

Man kann zweidimensionale Wavelets auch direkt aus zweidimensionalen Generatoren (z. B. Box-Splines) erzeugen, jedoch ist der Zugang über Tensorprodukte der einfachste. Ein Nachteil des Tensorproduktansatzes ist, daß beispielweise im 2D-Fall die Koordinatenrichtungen hervorgehoben werden, was nicht immer erwünscht ist. Wendet man Wavelets zur Kantenerkennung in digitalen Bildern an, so kann die Richtungsselektivität vorteilhaft sein.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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