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Hemmes mathematische Rätsel: Eine seltsame Kugel

Die Oberfläche und das Volumen einer Kugel sind ganzzahlige, vierstellige Vielfache von Pi in Quadrat- bzw. Kubikzentimetern. Welchen Radius hat die Kugel?
Die Kreiszahl Pi

Zwischen 1959 und 1964 warb die Firma »Litton Industries« in den Zeitschriften »Aviation Week« und »Electronic News« für ihre Produkte mit Anzeigen, die jedes Mal eine mathematische Denksportaufgabe enthielten.

Die Oberfläche und das Volumen einer Kugel sind ganzzahlige, vierstellige Vielfache der Kreiszahl π in Quadrat- beziehungsweise Kubikzentimetern. Welchen Radius hat diese Kugel?

Die Oberfläche und das Volumen einer Kugel betragen A = 4πr2 und V = 4πr3/3. Damit V ein ganzzahliges Vielfaches von π in Kubikzentimetern ergeben kann, muss 4r3/3 eine natürliche Zahl sein. Dies ist nur möglich, wenn r durch 3 teilbar ist.

A und V sollen vierstellige Vielfache von π in Kubikzentimetern sein. Das heißt 999π < 4πr2 < 10000π und 999π < 4π3/3 < 10000π. Diese beiden Ungleichungen kann man nach r auflösen und man erhält 15 < r < 50 und 9 < r < 20.

Der Radius muss also größer als 15 und kleiner als 20 sein. Die einzige durch 3 teilbare ganze Zahl in dem Intervall ist 18. Dies ist auch die Lösung. Somit hat die Kugel eine Oberfläche von 1296π cm2 und ein Volumen von 7776π cm3.

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