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Hemmes mathematische Rätsel: Wie alt sind die drei Frauen?

Oma, Mutter und Tochter haben Geburtstag. Das Alter der Tochter ist die Spiegelzahl der Mutter und die Oma ist doppelt so alt wie Mutter und Tochter zusammen.
Kindergeburtstag

Der 1949 in Berlin geborene und in München lebende Physiker Frank Gensler liebt den mathematischen Denksport und hat eine ganze Reihe Knobeleien erdacht. Auch das heutige Rätsel ist seine Erfindung und stammt aus dem Jahr 2019.

Eine Frau, ihre Mutter und ihre Tochter haben kurioserweise am selben Tag Geburtstag. Deshalb feiern sie ihre Geburtstage auch immer zusammen. Auf einem dieser gemeinsamen Geburtstagsfeste sagt die Großmutter zu ihrer Enkelin: »Heute ist ein besonderer Tag, denn dein Alter ist die Spiegelzahl des Alters deiner Mutter. Und ich bin doppelt so alt, wie du und deine Mutter zusammen.« Wie alt sind die drei Frauen?

Kehrt man die Reihenfolge der Ziffern einer Zahl um, erhält man ihre Spiegelzahl. So hat beispielsweise 2639 die Spiegelzahl 9362. Aus biologischen Gründen war natürlich keine der beiden älteren Frauen bei der Geburt ihres Kindes jünger als 10 Jahre oder älter als 65 Jahre.

Die Enkelin, die Mutter und die Großmutter sind auf der Geburtstagsfeier e, m und g = 2(e + m) Jahre alt. Da m die Spiegelzahl von e ist, muss e mindestens 12 sein, da sonst die Mutter nicht älter wäre als ihre Tochter. Die Mutter war bei der Geburt der Tochter m − e und die Großmutter bei der Geburt der Mutter g − m Jahre alt. Nun kann man für e = 12, 13, 14, … die Alter und Altersdifferenzen tabellieren.

emgm − eg − m
122166945
1331881857
14411102769
…………………………
24421321890

Da keine der Frauen bei der Geburt ihres Kindes jünger als 10 oder älter als 65 Jahre sein konnte, gibt es nur eine Lösung: Bei der Feier sind die Enkelin 13, die Mutter 31 und die Großmutter 88 Jahre alt.

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