Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist das Volumen des großen Würfels?
Das heutige Rätsel stammt aus Daniel Grillers 2018 erschienenem Buch »Problem Solving in GCSE Mathematics«. Es wurde von mir allerdings noch in ein geometrisches Kleid gesteckt.
Drei unterschiedlich große Würfel liegen nebeneinander auf dem Tisch. Der mittelgroße hat nur 9/10 und der kleine nur 4/15 des Volumens des großen Würfels. Außerdem überragt der mittelgroße den kleinen um 2 Zentimeter. Wie groß ist das Volumen des großen Würfels?
Wenn das Volumen des großen Würfels x cm3 beträgt, gilt für den Kantenlängen der drei Würfel 3√(9/10 · x) = 3√(4/15 · x) + 2.
Man ist nun schnell geneigt, beide Seiten der Gleichung mit 3 zu potenzieren, doch dadurch verfängt man sich leicht in einem größer werdenden Netz aus Wurzeln. Einfacher ist es, zunächst die beiden Wurzeln gleich zu machen und dann zusammenzufassen.
Dazu erweitert man den Bruch unter der linken Wurzel mit 3 und den unter der rechten mit 2 und erhält 3√(27/30 · x) = 3√(8/30 · x) + 2. Aus den Zählern kann man die Wurzeln ziehen und bekommt dadurch 3 · 3√(x/30) = 2 · 3√(x/30) + 2, was sich zu 3√(x/30) = 2 zusammenfassen lässt.
Erst jetzt werden beide Seiten der Gleichung mit 3 potenziert und ergeben x/30 = 8 oder x = 240. Der große Würfel hat also ein Volumen von 240 cm3.
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Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!
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