ein Signifikanztest zum Prüfen der Hypothese, ob zwei oder mehr als zwei Stichproben aus der gleichen Grundgesamtheit stammen oder nicht.

Es seien X₁,…,X_k k unabhängige diskrete Zufallsgrößen, die die Werte a₁,…,a_m mit den Wahrscheinlichkeiten

\begin{eqnarray}{p}_{ij}=P({X}_{i}={a}_{j})\end{eqnarray}

(i = 1,…,k; j = 1,…,m) annehmen können. Hierbei gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{p}_{ij}=1\end{eqnarray}

für i = 1,…,k. Die zu prüfende Hypothese lautet dann:

\begin{eqnarray}H:{p}_{ij}={p}_{j}\,\text{für}\,\text{alle}\,i=1,\ldots, k\,\text{und}\,j=1,\ldots, m\end{eqnarray}

(d. h., alleX_i sind identisch verteilt).

Zur Berechnung der Testgröße T für diesen Test wird von jedem X_i eine Stichprobe nicht notwendigerweise gleichen Stichprobenumfangs n_i aufgestellt.

Sei H_ij die beobachtete absolute Anzahl der Stichprobenwerte von X_i, die gleich dem Wert a_j sind. Die verwendete Testgröße ist die gleiche wie im χ²-Unabhängigkeitstest

\begin{eqnarray}T=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\frac{{({H}_{ij}-{H}_{ij}^{E})}^{2}}{{H}_{ij}^{E}},\end{eqnarray}

wobei

\begin{eqnarray}{H}_{ij}^{E}=\frac{{H}_{i.}{H}_{.j}}{n}\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}{H}_{i.}=\displaystyle \sum _{j=1}^{m}{H}_{ij},{H}_{.j}=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{H}_{ij},n=\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{n}_{i},\end{eqnarray}

die unter der Annahme der Gültigkeit der Hypothese H erwartete absolute Häufigkeit des Auftretens des Wertes a_j in der Stichprobe von X_i ist.

Die Testgröße T besitzt unter der Hypothese H asymptotisch für n → ∞ eine χ²-Verteilung mit (m − 1)(k − 1) Freiheitsgraden. Sie wird mit dem kritischen Wert

\begin{eqnarray}\varepsilon ={\chi }^{2}(1-\alpha; m-1,k-1)\end{eqnarray}

verglichen, wobei χ²(1 − α; m − 1, k − 1) das (1 − α)-Quantil der χ²-Verteilung mit (m − 1)(k − 1) Freiheitsgraden ist.

α mit 0 < α < 1 ist eine vorgegebene Zahl. In der Regel wird α = 0.01 oder α = 0.05 gewählt. Ist T < ϵ, wird die Hypothese H angenommen, andern-falls wird sie abgelehnt.

Dieser Test besitzt asymptotisch für n → ∞ den Fehler erster Art α.