die für alle 𝓌 und 𝓏 ∈ ℂ gültige Beziehung \begin{eqnarray}\exp ({\mathscr{w}}+{\mathscr{z}})=\exp {\mathscr{w}}\cdot \exp {\mathscr{z}} & ({\mathscr{w}},{\mathscr{z}}\in {\mathbb{C}}),\end{eqnarray}

zu beweisen etwa mit dem Cauchy-Produkt für die Potenzreihe der Exponentialfunktion.

Das Additionstheorem der Exponentialfunktion ist von fundamentaler Bedeutung für zahlreiche Bereiche der Mathematik. Mit dem Additionstheorem und der Identität exp(0) = 1 sieht man, daß \begin{eqnarray}\exp :({\mathbb{C}},+)\to ({\mathbb{C}}\backslash \{0\},\cdot )\end{eqnarray}

ein Gruppenhomomorphismus ist. Die Einschränkung der Exponentialfunktion auf den Bereich der reellen Zahlen, \begin{eqnarray}\exp :({\mathbb{R}},+)\to ((0,\infty ),\cdot ),\end{eqnarray}

(die wir hier in etwas laxer, aber üblicher Notation ebenfalls mit exp bezeichnen,) ist sogar ein Gruppenisomorphismus.