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Lexikon der Mathematik: Algebra der holomorphen Funktionen in n Variablen

ein zentraler Begriff in der Funktionentheorie auf Bereichen im ℂn.

Sei X ⊂ ℂn ein Bereich. Dann heißt eine Funktion f : X → ℂn partiell holomorph, wenn für jedes feste \begin{eqnarray}({{\mathscr{z}}}_{1}^{0},\ldots, {{\mathscr{z}}}_{n}^{0})\in X\end{eqnarray}, und jedes j ∈ {1, …, n} die Funktion in einer Variablen, die bestimmt istdurch \begin{eqnarray}{{\mathscr{z}}}_{j}\mapsto f({{\mathscr{z}}}_{1}^{0},\ldots {{\mathscr{z}}}_{j-1}^{0},{{\mathscr{z}}}_{j}^{0},{{\mathscr{z}}}_{j+1}^{0},\ldots, {{\mathscr{z}}}_{n}^{0}),\end{eqnarray}

holomorph ist. Eine stetig partiell holomorphe Funktion heißt holomorph, und die Menge der holomorphen Funktionen auf X wird bezeichnet mit 𝒪(X). 𝒪(X) ist eine Algebra, deren Einselement die konstante Funktion mit dem Wert 1 ist, die invertierbaren Elemente von 𝒪(X) sind die holomorphen Funktionen ohne Nullstellen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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