Lexikon der Mathematik: analytische Hyperfläche
Punktmenge, die als Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion darstellbar ist.
Sei G ⊂ ℂ n ein Gebiet, f eine holomorphe und nirgends identisch verschwindende Funktion auf G und
ζ 0 ∈ N sei ein fest gewählter Punkt. (f)ζ 0 bezeichne die Taylorentwicklung von f im Punkt ζ 0. Da eine Scherung die analytische Hyperfläche N nicht wesentlich verändert, kann man o.B.d.A. annehmen, daß
Man kann eine Umgebung U(ζ 0) ⊂ G finden, auf der (e)ζ 0 bzw. (w)ζ 0 gegen eine holomorphe Funktion e und ein Pseudopolynom w konvergieren, so daß f | U = e · w ist. Wählt man U hinreichend klein, so ist e (ζ) ≠ 0 für alle ζ ∈ U, also mit ζ = (𝓏1, ζ′):
Sei nun w = w 1 · ⋯ · wl die Primzerlegung von w. Dann ist
Treten mehrfache Faktoren auf, so sind die entsprechenden Komponenten der analytischen Menge gleich. Es genügt also, wenn man sich auf Pseudopolynome ohne mehrfache Faktoren beschränkt.
Sei
ist. Für
sei
Außerdem sei
N ∩ (G 1 × G′) stellt eine verzweigte Überlagerung über G 1 dar, die Verzweigungspunkte liegen über Dw. Über G 1−Dw ist die Überlagerung unverzweigt. Man kennt die analytische Hyperfläche N, wenn man die analytische Menge Dw ⊂ ℂ n −1 und das Verzweigungsverhalten von N kennt. Auf induktivem Wege erhält man so einen Überblick über den Aufbau von N.
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