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Lexikon der Mathematik: analytische Hyperfläche

Punktmenge, die als Nullstellenmenge einer holomorphen Funktion darstellbar ist.

Sei G ⊂ ℂ n ein Gebiet, f eine holomorphe und nirgends identisch verschwindende Funktion auf G und \begin{eqnarray}N:\{\zeta \in G:f(\zeta )=0\}.\end{eqnarray}

ζ 0N sei ein fest gewählter Punkt. (f)ζ 0 bezeichne die Taylorentwicklung von f im Punkt ζ 0. Da eine Scherung die analytische Hyperfläche N nicht wesentlich verändert, kann man o.B.d.A. annehmen, daß \begin{eqnarray}f({z}_{1}-{z}_{1}^{(0)},{z}_{2}^{(0)},\ldots, {z}_{n}^{(0)})\end{eqnarray} nicht identisch verschwindet. Es gibt dann eine Einheit (e)ζ 0 und ein Pseudopolynom (w)ζ 0 so, daß \begin{eqnarray}{(f)}_{{\zeta }_{0}}={(e)}_{{\zeta }_{0}}\cdot {(w)}_{{\zeta }_{0}}.\end{eqnarray}

Man kann eine Umgebung U(ζ 0) ⊂ G finden, auf der (e)ζ 0 bzw. (w)ζ 0 gegen eine holomorphe Funktion e und ein Pseudopolynom w konvergieren, so daß f | U = e · w ist. Wählt man U hinreichend klein, so ist e (ζ) ≠ 0 für alle ζU, also mit ζ = (𝓏1, ζ′): \begin{eqnarray}\{\zeta \in U:f(\zeta )=0\}=\{\zeta \in U:w({z}_{1},{\zeta }^{^{\prime} })=0\}.\end{eqnarray}

Sei nun w = w 1 · ⋯ · wl die Primzerlegung von w. Dann ist \begin{eqnarray}\{\zeta \in U:f(\zeta )=0\}=\displaystyle \underset{i=1}{\overset{l}{\cup }}\{\zeta \in U:{w}_{i}(\zeta )=0\}.\end{eqnarray}

Treten mehrfache Faktoren auf, so sind die entsprechenden Komponenten der analytischen Menge gleich. Es genügt also, wenn man sich auf Pseudopolynome ohne mehrfache Faktoren beschränkt.

Sei \begin{eqnarray}{\zeta }_{0}=({z}_{1}^{(0)},{\zeta }_{0}^{\text{'}})\end{eqnarray}, G 1 eine offene Umgebung von \begin{eqnarray}{z}_{1}^{(0)}\end{eqnarray} ∈ ℂ und G′ eine zusammenhängende offene Umgebung von ζ0 ∈ ℂ n −1, so daß G 1 × G′ ⊂ U und \begin{eqnarray}\{({z}_{1},{\zeta }^{^{\prime} })\in \Bbb{C}\times {G}^{^{\prime} }:w({z}_{1},{\zeta }^{^{\prime} })=0\}\subset {G}_{1}\times G\text{'}\end{eqnarray}

ist. Für \begin{eqnarray}w(u,\zeta \text{'})={u}^{s}-{A}_{1}({\zeta }^{^{\prime} }){u}^{s-1}+\cdots +{(-1)}^{s}{A}_{s}({\zeta }^{^{\prime} })\end{eqnarray}

sei \begin{eqnarray}{\delta}_{w}({\zeta }^{^{\prime} }):=\text{\delta}(w(u,{\zeta }^{^{\prime} }))=Q({A}_{1}({\zeta }^{^{\prime} }),\ldots, {A}_{s}({\zeta }^{^{\prime} })).\end{eqnarray}

Außerdem sei \begin{eqnarray}{D}_{w}=\{{\zeta }^{^{\prime} }\in {G}^{^{\prime} }:{\delta}_{w}({\zeta }^{^{\prime} })=0\}.\end{eqnarray}

N ∩ (G 1 × G′) stellt eine verzweigte Überlagerung über G 1 dar, die Verzweigungspunkte liegen über Dw. Über G 1Dw ist die Überlagerung unverzweigt. Man kennt die analytische Hyperfläche N, wenn man die analytische Menge Dw ⊂ ℂ n −1 und das Verzweigungsverhalten von N kennt. Auf induktivem Wege erhält man so einen Überblick über den Aufbau von N.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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