Lexikon der Mathematik: analytische Halbgruppe
eine Operatorhalbgruppe, die in einen Sektor der komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden kann.
Sei 0 < α ≤ π/2 und
Eine Familie
- T 0 = Id, T z 1+z 2 = T z 1T z 2 ∀z 1, z 2 ∈
\begin{eqnarray}{\Sigma }_{\alpha }^{0}\end{eqnarray} , -
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0\\ z\in {\Sigma }_{\beta }}\end{eqnarray} T zx = x ∀x ∈ X, falls β < α, und - 𝓏 ↦ T z eine holomorphe operatorwertige Funktion auf Σ α ist.
Gilt zusätzlich
4) sup{∥T z∥ : 𝓏 ∈ Σβ} < ∞, falls β < α,
spricht man etwas ungenau von einer beschränkten analytischen Halbgruppe. Der Laplace-Operator z. B. erzeugt eine beschränkte analytische Halbgruppe auf Lp(ℝ d) oder C 0(ℝ d).
Die Einschränkung einer analytischen Halbgruppe auf [0, ∞) ist eine stark stetige Operatorhalbgruppe, deren Erzeuger A sei (Erzeuger einer Operatorhalbgruppe). Der Erzeuger einer beschränkten analytischen Halbgruppe auf
(Resolventenmenge) und für jedes β < α eine Konstante Cβ mit
existiert.
Die Bedeutung analytischer Halbgruppen liegt in den für sie gültigen Regularitätsaussagen. So gilt für eine analytische Halbgruppe {Tt} mit Erzeuger A stets der spektrale Abbildungssatz
und das abstrakte Cauchy-Problem
hat für alle x 0 ∈ X eine Lösung
nämlich u(t) = Tt(x 0).
[1] Pazy, A.: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer Berlin/Heidelberg, 1983.
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