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Lexikon der Mathematik: analytische Halbgruppe

eine Operatorhalbgruppe, die in einen Sektor der komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden kann.

Sei 0 < α ≤ π/2 und \begin{eqnarray}\displaystyle {\sum }_{\alpha }=\{z\in \Bbb{C}:z\ne 0,|\arg z|\lt \alpha \}\end{eqnarray} sowie \begin{eqnarray}{\Sigma}_{\alpha }^{0}={\Sigma}_{\alpha }\cup \{0\}\end{eqnarray}.

Eine Familie \begin{eqnarray}\{{T}_{z}:z\in {\Sigma }_{\alpha }^{0}\}\end{eqnarray} von beschränkten linearen Operatoren auf einem Banachraum X heißt analytische Halbgruppe, wenn

  1. T 0 = Id, T z 1+z 2 = T z 1T z 2z 1, z 2\begin{eqnarray}{\Sigma }_{\alpha }^{0}\end{eqnarray},
  2. \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{z\to 0\\ z\in {\Sigma }_{\beta }}\end{eqnarray}T zx = xxX, falls β < α, und
  3. 𝓏 ↦ T z eine holomorphe operatorwertige Funktion auf Σ α ist.

Gilt zusätzlich

4) sup{∥T z∥ : 𝓏 ∈ Σβ} < ∞, falls β < α,

spricht man etwas ungenau von einer beschränkten analytischen Halbgruppe. Der Laplace-Operator z. B. erzeugt eine beschränkte analytische Halbgruppe auf Lp(ℝ d) oder C 0(ℝ d).

Die Einschränkung einer analytischen Halbgruppe auf [0, ∞) ist eine stark stetige Operatorhalbgruppe, deren Erzeuger A sei (Erzeuger einer Operatorhalbgruppe). Der Erzeuger einer beschränkten analytischen Halbgruppe auf \begin{eqnarray}{{\rm{\Sigma }}}_{\alpha }^{0}\end{eqnarray} ist dadurch charakterisiert, daß \begin{eqnarray}{\Sigma }_{\alpha +\pi /2}\subset \sigma (A)\end{eqnarray}

(Resolventenmenge) und für jedes β < α eine Konstante Cβ mit \begin{eqnarray}\Vert \lambda {(\lambda -A)}^{-1}\Vert \le {C}_{\beta } & \forall \lambda \in {\Sigma }_{\beta +\pi /2}\end{eqnarray}

existiert.

Die Bedeutung analytischer Halbgruppen liegt in den für sie gültigen Regularitätsaussagen. So gilt für eine analytische Halbgruppe {Tt} mit Erzeuger A stets der spektrale Abbildungssatz \begin{eqnarray}\sigma ({T}_{t})\backslash \{0\}\backslash \{{e}^{t\lambda }:\lambda \in \sigma (A)\} & \forall t\ge 0,\end{eqnarray}

und das abstrakte Cauchy-Problem \begin{eqnarray}{u}^{^{\prime} }=Au, \,\,\,& u(0)={x}_{0}\end{eqnarray}

hat für alle x 0X eine Lösung\begin{eqnarray}u\in C([0,\infty ],X)\cap {C}^{\infty }((0,\infty ),X),\end{eqnarray}

nämlich u(t) = Tt(x 0).

[1] Pazy, A.: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer Berlin/Heidelberg, 1983.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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