Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Approximationseigenschaft eines Banachraums

ist für einen Banachraum X erfüllt, falls es zu jeder kompakten Teilmenge C von X und jedem ϵ > 0 einen stetigen linearen Operator T endlichen Ranges mit ∥xTx∥ ≤ ϵ für alle xC gibt. X besitzt die metrische Approximationseigenschaft, falls man sogar einen solchen Operator mit ∥T∥ ≤ 1 finden kann.

Die klassischen Funktionen- und Folgenräume C(K), Lp(μ), c 0, p etc. besitzen die metrische Approximationseigenschaft, und jeder Banachraum mit einer Schauder-Basis besitzt die Approximationseigenschaft. Im Jahre 1973 wurde von Enflo das erste Beispiel eines Banachraums ohne die Approximationseigenschaft konstruiert, und 1981 zeigte Szankowski, daß der nicht-separable Raum L(H) aller Operatoren auf einem Hilbertraum ein konkretes Beispiel eines Banachraums ohne die Approximationseigenschaft ist.

Die Approximationseigenschaft von X ist dazu äquivalent, daß für jeden Banachraum E jeder kompakte Operator von E nach X Grenzwert einer Folge von stetigen endlichdimensionalen Operatoren ist.

[1] Lindenstrauss, J.; Tzafriri, L.: Classical Banach Spaces I. Springer Berlin/Heidelberg, 1977.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos