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Lexikon der Mathematik: Areacotangensfunktion

Areacotangens, die aufgrund der strengen Antitonie auf (–∞, 0) und auf (0, ∞) und der Surjektivität der hyperbolischen Cotangensfunktion coth : ℝ \ {0} ℝ \ [−1, 1] zu dieser existierende Umkehrfunktion

\begin{eqnarray}\mathrm{arcoth}:{\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash [-1,1]\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\backslash \{0\}.\end{eqnarray}

Es gilt

\begin{eqnarray}\mathrm{arcoth}y=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\frac{y+1}{y-1}\end{eqnarray}

für y ∈ ℝ \ [−1, 1]. Mit coth ist auch arcoth eine ungerade Funktion. Nach dem Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion ist arcoth differenzierbar, und für y ∈ ℝ \ [−1, 1] gilt

\begin{eqnarray}{\mathrm{arcoth}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{1-{y}^{2}}.\end{eqnarray}

Mit \(\mathrm{arcoth}y=\mathrm{artanh}\frac{1}{y}\) erhält man aus den Eigenschaften der Areatangensfunktion Eigenschaften der Areacotangensfunktion.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Areacotangensfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Abbildung 2 zum Lexikonartikel Areacotangensfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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