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Lexikon der Mathematik: Differentiation der Umkehrfunktion

ist möglich an den Stellen, an denen die Funktion selbst differenzierbar und ihre Ableitung verschieden von Null ist.

Genauer: Ist f : I → ℝ eine auf einem Intervall I ⊂ ℝ definierte, streng isotone oder streng antitone stetige Funktion, die an einer Stelle aI differenzierbar ist mit f′(a) ≠ 0, dann ist ihre (wegen der strengen Monotonie existierende) Umkehrfunktion f−1 differenzierbar in f(a) mit \begin{eqnarray}({f}^{-1}{)}^{^{\prime} }(f(a))=\displaystyle \frac{1}{{f}^{^{\prime} }(a)}\end{eqnarray} bzw. mit b = f(a) : \begin{eqnarray}{({f}^{-1})}^{^{\prime} }(b)=\frac{1}{{f}^{^{\prime} }({f}^{-1}(b))}.\end{eqnarray}

Man erkennt dies auch unmittelbar durch Betrachten des Graphen von f (vgl. Abbildung): Der Über-gang von f zu f−1 entspricht einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen, weshalb die Steigung von f−1 an der Stelle f(a) sich aus der von f an der Stelle a durch Kehrwertbildung ergibt.

Weiß man, daß die Funktion f−1 in f(a) differenzierbar ist, so liefert auch die Kettenregel die Formel zur Berechnung ihrer Ableitung: Es gilt nämlich x = (f−1f)(x) für xI, also \begin{eqnarray}1={({f}^{-1}\circ f)}^{^{\prime} }(a)=({f}^{-1}{)}^{^{\prime} }(f(a)){f}^{^{\prime} }(a),\end{eqnarray} woraus (1) folgt für f′(a) ≠ 0.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Differentiation der Umkehrfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Zur Differentiation der Umkehrfunktion

Zum Beispiel ist die Funktion sin : \([-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\to \) [−1, 1] differenzierbar, streng isoton und surjektiv, und es ist sin′ = cos. Somit gilt für die Umkehrfunktion arcsin : \([-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\) für y ∈ (−1, 1) \begin{eqnarray}{\text{arcsin}}^{^{\prime} }(y)=\frac{1}{{\sin }^{^{\prime} }(\text{arcsin}(y))}=\frac{1}{\sqrt{1-{y}^{2}}}.\end{eqnarray}

Bei f′(a) < 0 bzw. f′(a) > 0 und Stetigkeit von f′ in a ist f in einer Umgebung von a streng antiton bzw. isoton. Daher gilt: Ist f : I → ℝ eine auf einem Intervall I ⊂ ℝ definierte differenzierbare Funktion, und ist f′ stetig in a mit f′(a) ≠ 0, dann gibt es eine Umgebung U von a so, daß die Einschränkung f/U : Uf(U) bijektiv ist und f′(x) ≠ 0 gilt für xU.

Die Umkehrfunktion \({f}_{/U}^{-1}\) ist differenzierbar, und es gilt \begin{eqnarray}{({({f}_{/U})}^{-1})}^{^{\prime} }(f(x))={({f}^{^{\prime} }(x))}^{-1}\end{eqnarray} für xU. Bei der Verallgemeinerung dieser Aussagen von ℝ auf ℝn mit n > 1 wird aus der Kehrwertbildung das Invertieren von (n × n)-Matrizen, die Bedingung f′(a) ≠ 0 geht über in die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix f′(a) von f an der Stelle a, und man erhält den Satz über die Differentiation der Umkehrfunktion:

Ist f : G → ℝn eine auf einer offenen Menge G ⊂ ℝn definierte stetig differenzierbare Abbil-dung, die an der Stelle aG eine invertierbare Ableitung f′(a) besitzt, dann gibt es eine offene Umgebung UG von a so, daß f(U) eine offene Umgebung von f(a) und die Einschränkung f/U : Uf(U) bijektiv ist und f′(x) invertierbar für xU.

Die Umkehrfunktion \begin{eqnarray}{({f}_{/U})}^{-1}:f(U)\to U\end{eqnarray}ist stetig differenzierbar (d. h. f/U ist ein Diffeomorphismus), und es gilt die Formel (2).

Verallgemeinerungen dieses Satzes liefern Aussagen über Ck-Diffeomorphismen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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