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Lexikon der Mathematik: Artinsche Vermutung

zahlentheoretische Vermutung über Primitivwurzeln modulo einer Primzahl. Sie lautet:

Zu jeder ganzen Zahl а ≠ 0 und ≠ −1, die nicht das Quadrat einer ganzen Zahl ist, gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, daß a Primitivwurzel modp ist.

Diese Vermutung findet sich in einer Arbeit von Emil Artin aus dem Jahr 1927. Heath-Brown publizierte 1986 folgende Resultate über die Menge S derjenigen ganzen Zahlen, die ≠ 0, ≠ −1 und keine Quadratzahlen sind, aber dennoch die Behauptung der Artinschen Vermutung nicht erfüllen:

  1. S enthält höchstens zwei Primzahlen,
  2. S enthält höchstens drei quadratfreie Zahlen,
  3. #{nS : |n| < x} ≤ c(log x)2 für eine reelle Konstante c > 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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