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Lexikon der Mathematik: Assoziationsschema

ein Paar \((X, {\mathcal R} )\), wobei gilt:

  • \( {\mathcal R} =\{{R}_{0},{R}_{1},\ldots, {R}_{j}\}\) ist eine Partition von X × X.
  • R0 = {(x, x) | xX}.
  • (x, y) ∈ Ri ⇒ (у, x) ∈ Ri.
  • Es gibt natürliche Zahlen \({p}_{ij}^{k}\), so daß für jedes Paar (x, y) ∈ Rk gilt: Die Anzahl der zX mit (x, y) ∈ Ri und (z, y) ∈ Rj ist gleich \({p}_{ij}^{k}\).

Man spricht auch von einem Assoziationsschema mit d Klassen.

Die Ri sind binäre Relationen auf X, so daß je zwei Elemente von X in genau einer Relation zueinander stehen.

Ist d = 2, so ist das Assoziationsschema vollständig durch die Menge R1 bestimmt. Faßt man R1 als Kantenmenge eines Graphen auf x auf, so erhält man einen stark regulären Graphen.

Die durch die Relationen Ri definierten Adjazenz-matrizen Ai, definiert durch

\begin{eqnarray}{({A}_{i})}_{xy}=\{1\,\text{falls}(x,y)\in {R}_{i}\\ 0\,\text{sonst}\end{eqnarray}

spannen eine (d + 1)-dimensionale kommutative Algebra symmetrischer Matrizen auf, die sog. Bose-Mesner-Algebra.

Ein Beispiel eines Assoziationsschemas: Sei X die Menge der k-dimensionalen Unterräume eines projektiven Raumes, und sei Ri die Menge der Paare von Unterräumen, die sich in einem Unterraum der Dimension k − i schneiden. Dann ist \((X, {\mathcal R} )\) ein Assoziationsschema.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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