bedingter Erwartungswert, Verallgemeinerung des Begriffs des Erwartungswertes einer numerischen Zufallsvariablen X mit dem Ziel, gegebene Vorkenntnisse über X zu berücksichtigen.

Sei X eine numerische Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, 𝒜, P) mit X ≥ 0 bzw. f_Ω |X| dP < ∞, und sei 𝒞 ⊂ 𝒜 eine Unter-σ-Algebra. Dann heißt eine auf (Ω, 𝒜, P) definierte numerische Zufallsvariable Z bedingte Erwartung von X bezüglich 𝒞, in Zeichen E(X|𝒞), falls Z ≥ 0 bzw. ∫_Ω |Z| dP < ∞ und Z 𝒞-meßbar ist, sowie \begin{eqnarray}{\int }_{C}Z\,dP={\int }_{C}X\,dP\,\mathrm{fur}\,{\rm{alle}}\,C\in {\mathscr{C}}\,{\rm{gilt}}.\end{eqnarray}

Unter den genannten Voraussetzungen existiert E(X|𝒞) und ist fast sicher (f.s.) eindeutig bestimmt.

Für die Untersuchung stochastischer Prozesse besonders wichtig ist der Fall, daß \begin{eqnarray}{\mathscr{C}}=\sigma ({Y}_{i};i\in I)\end{eqnarray} von einer Familie (Y_i)_i∈I von Zufallsvariablen Y_i : (Ω, 𝒜) → (E_i, ϵ_i) mit Werten in Meßräumen (E_i, ϵ_i) erzeugt wird. Dann nennt man E(X|𝒞) bedingte Erwartung von X gegeben (Y_i)_i∈I und schreibt statt E(X|𝒞) auch E(X|Y_i,i ∈ I) bzw. E(X|Y₁, …, Y_n), falls I = {1, …, n}.

Ein enger Zusammenhang der bedingten Erwartung mit der bedingten Wahrscheinlichkeit wird deutlich, wenn die Unter-σ-Algebra 𝒞 ⊂ 𝒜 von paarweise disjunkten Mengen A₁, …, A_n ∈ 𝒜 erzeugt wird und Ω = A₁ ∪ … ∪ A_n sowie P(A_i) > 0, i = 1, …, n gilt.

E(X|𝒞) wird in diesem Fall auch bedingte Erwartung bezüglich der Zerlegung A₁, …, A_n genannt. Für ω ∈ A_i ist \begin{eqnarray}E(X|{\mathscr{C}})(\omega )=(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{A}_{i}}X\,dP)/P({A}_{i})=\displaystyle \int X\,d{P}_{{A}_{i}}\end{eqnarray} der Erwartungswert von X bezüglich des bedingten Wahrscheinlichkeitsmaßes \({P}_{{A}_{i}}\). Die Zahl \begin{eqnarray}{E}_{{A}_{i}}(X):=\int X\,d{P}_{{A}_{i}}\end{eqnarray} heißt bedingte Erwartung von X gegeben das Ereignis A_i.

Dieser Zusammenhang läßt sich verallgemeinern: Ist 𝒞 ⊂ 𝒜 eine (beliebige) Unter-σ-Algebra, X re-ellwertig, ℬ die Borel-σ-Algebra auf ℝ und P_X|𝒞 : Ω × ℬ → [0, 1] eine bedingte Verteilung von X bezüglich 𝒞, so ist \begin{eqnarray}E(X|{\mathscr{C}})(\omega )=(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathbb{R}}}x{P}_{X|{\mathscr{C}}})(\omega,dx)\,\text{f.s.}\end{eqnarray}

Eine wichtige Deutung der bedingten Erwartung ergibt sich, falls X reell ist mit ∫_ΩX²dP < ∞. Dann ist \begin{eqnarray}E[X-E(X|{\mathscr{C}}){)}^{2}]=\,\min \{E[{(X-Z)}^{2}]|Z:{\rm{\Omega }}\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\,{\mathscr{C}}\text{-me}ß\text{bar},\,\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\Omega }|Z{|}^{2}dP\lt \infty \}.\end{eqnarray}

Einige Eigenschaften der bedingten Erwartung beschreibt folgender Satz:

Seien 𝒞, 𝒟 Unter-σ-Algebren von 𝒜 und X, Z, X₁, X₂, … numerische Zufallsvariablen auf (Ω, 𝒜, P) mit X ≥ 0, X_n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ bzw. ∫_Ω |X|dP < ∞, ∫_Ω |X_n|dP < ∞ für alle n ∈ ℕ. Dann gilt:

1. \({\mathscr{C}}=\{\rlap{/}{0},{\rm{\Omega }}\}\Rightarrow E(X|{\mathscr{C}})=EX\);
2. E(αX₁ + ßX₂|𝒞) = αE(X₁|𝒞) + ßE(X₂|𝒞) f.s., wobei α, β ∈ ℝ₊bzw. α, β ∈ ℝ;
3. E(|X||𝒞) ≥ |E(X|𝒞)| f.s.;
4. X 𝒞-meßbar ⇒ E(X|𝒞) = X f.s.;
5. σ(&KHgr;) unabhängig von 𝒞 ⇒ E(X|𝒞) = EX f.s. ;
6. E(E(X|𝒞)) = EX;
7. 𝒞 ⊂ 𝒟 ⇒ E(E(X|𝒟)|𝒞) = E(X|𝒞) f.s.;
8. X₁ ≥ X₂f.s. ⇒ E(X₁|𝒞) ≥ E(X₂|𝒞) f.s.;
9. X₁ 𝒞-meßbar und X₁, X₂≥ 0 bzw. ∫_Ω |X₁|dP, ∫_Ω |X₂|dP, ∫_Ω |X₁X₂|dP < ∞ ⇒ E(X₁X₂|𝒞) = X₁E(X₂|𝒞) f.s.;
10. 0 ≤ X₁≤ X₂… und X_n ↑ X f.s. ⇒ E(X_n|𝒞) ↑ E(X|𝒞) f.s.;
11. X_n ≥ 0 für alle n ∈ ℕ ⇒ E(lim inf X_n|𝒞) ≤ lim inf E(X_n|𝒞) f.s.;
12. lim X_n = Z f.s., |X_n| ≤ &KHgr;, ∫_Ω |X| dP < ∞ ⇒ E(X_n|𝒞) → E(Z|𝒞) f.s..

Ist (E, ϵ) ein Meßraum, Y eine (E, ϵ)-wertige und X eine reelle Zufallsvariable auf (Ω, 𝒜, P), so möchte man häufig den Einfluß von Y auf X weniger durch σ(Y) als durch die Werte von Y beschreiben. Sei P_Y die Verteilung von Y. Ist ∫_Ω |X| dP < ∞, so existiert eine ϵ-meßbare Funktion g : ϵ → ℝ mit ∫_E |g| dP_Y < ∞ sowie \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{B}g\,d{P}_{Y}=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\{Y\in B\}}X\,dP\,{\rm{fur\; alle}}\,B\in \varepsilon.\end{eqnarray}

Für jede ϵ-meßbare Funktion g : E → ℝ mit ∫_E |g| dP_Y < ∞, die diese Gleichung erfüllt, gilt g ∘ Y = E(X|Y) P-f.s. (Faktorisierung der bedingten Erwartung), und für jede solche Abbildung g heißt g(y) für alle y ∈ E bedingte Erwartung von X unter der Hypothese Y = y, in Zeichen E(X|Y = y). Die Abbildung y ↦ E(X|Y = y) ist P_Y-f.s. eindeutig bestimmt, ihre Eigenschaften folgen aus denen von E(X|Y). Wird durch y ↦ P_{X|Y = y} für alle y ∈ ∈ eine bedingte Verteilung von X gegeben Y = y definiert, so gilt analog zu Gleichung (1) \begin{eqnarray}E(X|Y=y)=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{{\mathbb{R}}}}}x\,{P}_{X|Y=y}(dx)\,{P}_{Y}\text{-f.s.}\end{eqnarray}

Ist der Wertebereich von X gleich {x₁, x₂, …} und dervon Y gleich {y₁, y₂, …}⊂ℝ mit P({Y = y_n}) > 0 für n = 1, 2, …, so ist \begin{eqnarray}E(X|Y={y}_{n})=\sum {x}_{i}P(\{X={x}_{i}\}|\{Y={y}_{n}\}).\end{eqnarray}

Ist Y reellwertig und existiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte f (x, y) von (X, Y) mit f_Y(y) := f_ℝf (x, y) dx > 0 für alle y ∈ ℝ, so gilt \begin{eqnarray}E(X|Y=y)=(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\rm{{\mathbb{R}}}}}xf(x,y)dx)/{f}_{Y}(y)\,{P}_{Y}-{\rm{f}}{\rm{.s}}.\end{eqnarray}