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Lexikon der Mathematik: Bewertung eines Körpers

Abbildung von einem Körper in die reellen Zahlen mit folgender Eigenschaft.

Sei ℝ ein Körper und ϕ : ℝ → ℝ eine Abbildung. Sie heißt Bewertung des Körpers ℝ, falls gilt

  1. ϕ(a) > 0 für a ≠ 0 und ϕ(0) = 0,
  2. ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b),
  3. ϕ(a + b) ≤ ϕ(a) + ϕ(b).

Durch ϕ(a) = 1 für a ≠ 0 und ϕ(0) = 0 wird für jeden Körper die triviale Bewertung gegeben.

Für ℚ, ℝ und ℂ wird jeweils eine Bewertung durch den Betrag der rationalen, reellen bzw. komplexen Zahl gegeben.

Es gibt eine Reihe von Bewertungen, welche statt der Bedingung 3. die schärfere Ungleichung 3′. ϕ(a + b) ≤ max(ϕ(a), ϕ(b)) erfüllen. Eine solche Bewertung heißt nichtarchimedische Bewertung. Bei einer nichtarchimedischen Bewertung gilt für alle n ∈ ℕ:

\begin{eqnarray}\varphi (n\cdot {1}_{K})\le 1.\end{eqnarray}

Beispiele nichtarchimedischer Bewertungen von ℚ liefern die für jede Primzahl p definierten p-adischen Bewertungen. Für nichtarchimedische Bewertungen ist manchmal der Übergang zur Exponentenbewertung nützlich.

Für viele Betrachtungen könnnen äquivalente Bewertungen identifiziert werden.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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