Lexikon der Mathematik: Bewertung eines Körpers
Abbildung von einem Körper in die reellen Zahlen mit folgender Eigenschaft.
Sei ℝ ein Körper und ϕ : ℝ → ℝ eine Abbildung. Sie heißt Bewertung des Körpers ℝ, falls gilt
- ϕ(a) > 0 für a ≠ 0 und ϕ(0) = 0,
- ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b),
- ϕ(a + b) ≤ ϕ(a) + ϕ(b).
Durch ϕ(a) = 1 für a ≠ 0 und ϕ(0) = 0 wird für jeden Körper die triviale Bewertung gegeben.
Für ℚ, ℝ und ℂ wird jeweils eine Bewertung durch den Betrag der rationalen, reellen bzw. komplexen Zahl gegeben.
Es gibt eine Reihe von Bewertungen, welche statt der Bedingung 3. die schärfere Ungleichung 3′. ϕ(a + b) ≤ max(ϕ(a), ϕ(b)) erfüllen. Eine solche Bewertung heißt nichtarchimedische Bewertung. Bei einer nichtarchimedischen Bewertung gilt für alle n ∈ ℕ:
\begin{eqnarray}\varphi (n\cdot {1}_{K})\le 1.\end{eqnarray}
Beispiele nichtarchimedischer Bewertungen von ℚ liefern die für jede Primzahl p definierten p-adischen Bewertungen. Für nichtarchimedische Bewertungen ist manchmal der Übergang zur Exponentenbewertung nützlich.
Für viele Betrachtungen könnnen äquivalente Bewertungen identifiziert werden.
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