Verallgemeinerung des Begriffs der Bogenlänge in (finit kompakten) metrischen Räumen.

Es sei \( {\mathcal R} \) ein metrischer Raum mit der Abstandfunktion \(\varrho : {\mathcal R} \times {\mathcal R} \to {\mathbb{R}}.\)\( {\mathcal R} \) heißt finit kompakt, wenn jede beschränkte Teilmenge von \( {\mathcal R} \) einen Häufungspunkt besitzt.

Eine Kurve in \( {\mathcal R} \) wird als stetige Abbildung \(\alpha : {\mathcal I} \to {\mathcal R} \) eines abgeschlossenen Intervalls \(I=[a,b]\subset {\mathbb{R}}\) in \( {\mathcal R} \) verstanden. Man betrachtet Zerlegungen \(3( {\mathcal I} )=\{{ {\mathcal I} }_{1},\ldots, { {\mathcal I} }_{r}\}\) von \( {\mathcal I} \) in Teilintervalle \({ {\mathcal I} }_{i}=[{a}_{i},{a}_{i+1}]\) mit \(a={a}_{0}\lt {a}_{1}\lt \ldots \lt {a}_{r-1}\lt {a}_{r}=b\). Für eine solche Zerlegung definiert man eine Größe

\begin{eqnarray}\sigma (3( {\mathcal I} ))=\displaystyle \sum _{i=1}^{r}\varrho (\alpha ({a}_{i}-1),{\alpha }_{i}({a}_{i})),\end{eqnarray}

die man sich ähnlich wie die Längen von einbeschriebenen Polygonzügen in der Kurventheorie des \({{\mathbb{R}}}^{n}\) als Näherungswert für die Bogenlänge von α vorstellen kann.

Die Bogenlänge \(\lambda (\alpha )\) von α ist dann als obere Grenze der Werte aller \(\sigma (3( {\mathcal I} ))\) definiert, wenn \(3( {\mathcal I} )\) alle Zerlegungen von \( {\mathcal I} \) durchläuft. Dieses Supremum kann unendlich sein, und man definiert rektifizierbare Kurven als solche, für die es einen endlichen Wert hat.

Es gibt noch eine andere Definition dieses Begriffs, die keinen expliziten Gebrauch von der Parameterdarstellung α macht. Es sei \({\mathscr{C}}=\alpha ( {\mathcal I} )\) eine Kurve und \(X=\{{x}_{1},{x}_{2},\ldots, {x}_{r}\}\subset {\mathscr{C}}\) eine endliche Teilmenge. Man definiert die Zahl \(\lambda (X)\) als das Minimum aller möglichen Summen

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i=1}^{r-1}\varrho (\alpha ({x}_{\sigma i}),\alpha ({x}_{\sigma i+1})),\end{eqnarray}

wobei σ die Permutationen der Zahlen 1, 2,..., r durchläuft. Dann gilt

\begin{eqnarray}\lambda (\alpha )=\mathop{\sup }\limits_{X\subset A}\lambda (X).\end{eqnarray}