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Lexikon der Mathematik: Bogenlänge in Riemannschen Mannigfaltigkeiten

Verallgemeinerung des Begriffs der Bogenlänge.

Als Bogenlänge in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit \((M,g)\) bezeichnet man die durch das Integral

\begin{eqnarray}{\lambda }_{{t}_{0},t}(\alpha )=\displaystyle {\int }_{{t}_{0}}^{t}\sqrt{g({\alpha }^{^{\prime} }(\tau ),{\alpha }^{^{\prime} }(\tau ))}d\tau \end{eqnarray}

definierte Funktion auf der Menge aller differenzierbaren Kurven \(\alpha :(a,b)\subset {\mathbb{R}}\to M\).

Man ersetzt also das euklidische Skalarprodukt durch die Riemannsche Metrik g.

Die Größe \({\lambda }_{{t}_{0},t}(\alpha )\) hängt nicht von der Parameterdarstellung α(t) der Kurve ab. Ist die Kurve α regulär, so ist bei festgehaltenem Anfangswert t0 die Funktion \(s(t)={\lambda }_{{t}_{0},t}(\alpha )\) differenzierbar, monoton wachsend, und es gilt überall \({s}^{^{\prime} }(t)\ne 0\). Man nennt s(t) den natürlichen Parameter von α.

Mit Hilfe der Umkehrfunktion \(\tau (s)\) von s(t), erhält man eine Parameterdarstellung \(\beta (s)=\alpha (\tau (s))\) derselben Kurve durch die Bogenlänge.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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