Cauchy-Produktreihe, für viele Anwendungen interessante Produktbildung von Reihen.

Das Cauchy-Produkt ist eine Produktreihe zweier unendlicher Reihen der folgenden Art:

Sind \(\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{m}\) und \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n}\) unendliche Reihen, so ist die Cauchy-Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_{k}\) definiert durch die Setzung

\begin{eqnarray}{c}_{k}:=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }.\end{eqnarray}

Man kann das etwas anschaulicher auch so formulieren: Die Elemente der Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_{k}\) werden durch durch „Anordnung nach Schrägzeilen“

\begin{eqnarray}{c}_{k}:=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }(={a}_{0}{b}_{k}+{a}_{1}{b}_{k-1}+\cdots +{a}_{k}{b}_{0})\end{eqnarray}

Eine oft herangezogene Konvergenzaussage für diese Produktreihe liefert der Reihenproduktsatz von Cauchy (Cauchy, Reihenproduktsatz von).

Sind die Reihen \(\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{m}\) und \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n}\) absolut konvergent und a, b ihre Summen, so ist auch die Cauchy-Produktreihe absolut konvergent, und es gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}=ab.\end{eqnarray}

Für Funktionenreihen gilt: Sind f_n, g_n : X ⊂ ℂ → ℂ Funktionen und die Reihen \(f=\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{f}_{m}\), \(g=\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{g}_{n}\) normal konvergent in X, so ist die Cauchy-Produktreihe \(h=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{h}_{k}\) mit

\begin{eqnarray}{h}_{k}=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{f}_{\ell }{g}_{k-\ell }\end{eqnarray}

Ein wichtiger Spezialfall ist das Cauchy-Produkt von Potenzreihen, denn diese Produktbildung wird insbesondere oft bei der Multiplikation von Potenzreihen benutzt. Es seien

\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{a}_{m}{(z-{z}_{0})}^{m}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}g(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

Potenzreihen mit Konvergenzradien R_f > 0 und R_g > 0.

Dann ist die Cauchy-Produktreihe gegeben durch

\begin{eqnarray}h(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}{(z-{z}_{0})}^{k}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{c}_{k}=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }.\end{eqnarray}

Für deren Konvergenzradius gilt

\begin{eqnarray}{R}_{h}\ge \min \{{R}_{f},{R}_{g}\}\gt 0.\end{eqnarray}

Schließlich ist

\begin{eqnarray}h(z)=f(z)g(z)\end{eqnarray}