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Lexikon der Mathematik: Choquet-Theorie

Integraldarstellungstheorie für kompakte konvexe Mengen.

Sei K ≠ ∅ eine kompakte konvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorff-Raums X. Nach dem Satz von Krein-Milman ist die Menge ex K der Extremalpunkte von K nicht leer, und es gilt \begin{eqnarray}K=\bar{\text{conv}}\,\,\text{ex}\,\,K.\end{eqnarray}

Diese Aussage kann durch eine Integraldarstellungsformel mittels des Rieszschen Darstellungssatzes folgendermaßen umgeschrieben werden.

Sei A(K) der Raum aller stetigen affinen Funktionen auf K; dann existiert zu jedem Punkt x0K ein reguläres Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß μ mit \(\mu (\bar{exK})=1\), das x0 gemäß \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}a({x}_{0})=\displaystyle \mathop{\int }\limits_{K}a(x)d\mu (x) & \forall a\in A(K) & (1)\end{array}\end{eqnarray} darstellt.

Der Satz von Choquet behauptet die Existenz eines solchen darstellenden Maßes, das von der Extremalpunktmenge selbst statt ihrem Abschluß „getragen“ wird.

Ist K metrisierbar, so ist ex K eine Borel-Menge, und die Forderung im Satz von Choquet lautet μ(ex K) = 1.

Ist K nicht metrisierbar, benötigt man den Begriff des maximalen Maßes. Auf allen Borel-Wahrschein-lichkeitsmaßen, die (1) erfüllen, definiert man die sog. Choquet-Ordnung durch:

μ1 μ2 genau dann, wenn \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{K}fd{\mu }_{1}\le \displaystyle \mathop{\int }\limits_{K}fd{\mu }_{2}\end{eqnarray} für alle konvexen stetigen Funktionen auf K gilt. Eine Anwendung des Zornschen Lemmas zeigt die Existenz bzgl. dieser Ordnung maximaler Maße. Der allgemeine Satz von Choquet lautet nun:

Zu jedem x0K existiert ein maximales Maß μ mit(1).

Für ein maximales Maß gilt μ(B) = 0 für jede zu ex K disjunkte Baire-Menge (Baire-σ-Algebra); daher ist μ(ex K) = 1, falls die Extremalpunkt-menge eine Baire-Menge ist, also insbesondere im metrisierbaren Fall.

Maximale x0 darstellende Maße sind i. allg. nicht eindeutig bestimmt, es sei denn, K ist ein Choquet-Simplex (Eindeutigkeitssatz von Choquet-Meyer). Zur Definition eines Choquet-Simplexes betrachte man im Raum X ⊕ ℝ die durch \begin{eqnarray}(x,\lambda )\ge (0,0)\iff \lambda \ge 0,\,\,\,x\in \lambda K\end{eqnarray} definierte Ordnung; K ist genau dann ein Choquet-Simplex, wenn ≥ eine Verbandsordnung ist (Vektorverband). Ein triviales Beispiel eines Choquet-Simplexes in ℝ2 ist ein Dreieck, und der Eindeutigkeitssatz von Choquet-Meyer wurde von E.Alfsen als Verallgemeinerung der Tatsache beschrieben, daß „ein dreibeiniger Tisch nicht wackelt“.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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