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Lexikon der Mathematik: Cosinusfunktion

Cosinus, ist definiert durch die Potenzreihe

\begin{eqnarray}\cos z:=\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{(2n)!}{z}^{2n}.$(1) Diese Reihe heißt auch Cosinusreihe. Sie ist in ganz ℂ normal konvergent, und daher ist cos eine ganz transzendente Funktion.

Durch gliedweises Differenzieren der Potenzreihe in (1) ergibt sich für die Ableitung von cos

\begin{eqnarray}\mathrm{co}{s}^{\prime}z=\sin z.\end{eqnarray}

Die Cosinusfunktion hat einfache Nullstellen an \(z={z}_{k}=(k+\frac{1}{2})\pi, k\in {\mathbb{Z}}\), sie ist eine gerade Funktion, d. h. cos (–z) = cos z, und sie hat die Periode 2π. Jeder Wert α ∈ ℂ wird von der Cosinusfunktion abzählbar unendlich oft angenommen, d. h. sie hat keine Ausnahmewerte. Weiter ist sie durch die Exponentialfunktion darstellbar:

\begin{eqnarray}\cos z=\frac{1}{2}({e}^{iz}+{e}^{-iz}).$(2) Die Zerlegung in Real- und Imaginärteil lautet

\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\cos z=\cos x\cosh y+i\sin x\sinh y, & z=x+iy.\end{array}\end{eqnarray}

Außerdem sei auf das wichtige Additionstheorem der Cosinus- und Sinusfunktion verwiesen.

Von Interesse sind auch die Abbildungseigenschaften der Cosinusfunktion. Zum Beispiel wird der Vertikalstreifen {x + iy : 0 < x < π} konform auf die zweifach geschlitzte Ebene ℂ \ {x ∈ ℝ : |x| ≥ 1} abgebildet.

Aus der Darstellung (2) ergibt sich zusammen mit der geometrischen Summenformel noch die trigonometrische Summenformel:

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle \displaystyle \sum _{\nu=1}^{n}\cos {\nu}z=\displaystyle\frac{\sin \left(n+\displaystyle\frac{1}{2}\right)z}{2\sin \displaystyle\frac{1}{2}z},\end{eqnarray}

wobei n ∈ ℕ und z ∈ ℂ, z ∉ 2πℤ.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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