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Lexikon der Mathematik: de Moivre-Laplace, Grenzwertsatz von

frühe Version des sog. zentralen Grenzwertsatzes für unabhängig identisch verteilte Bernoulli-Variablen, eine Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung.

Sei (Xn)n∈ℕ eine Folge von unabhängigen identisch mit Parameter 0 < p < 1 Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen. Dann gilt für alle a, b ∈ ℝ mit a < b

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }P\left(a\le \frac{{\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le b\right)=\Phi (b)-\Phi (a),\end{eqnarray}

wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Eine andere Formulierung des Satzes ist wie folgt:

Es sei A ein Ereignis und p mit 0 < p < 1 die konstante Wahrscheinlichkeit dafür, daß A in n unabhängigen Versuchen eintritt. Weiterhin bezeichne \({p}_{k}^{n}={(}_{k}^{n}){p}^{k}{(1-p)}^{n-k}\)die Wahrscheinlichkeit dafür, daß A in diesen n Versuchen genau k-mal eintritt. \begin{eqnarray}Dann\ gilt\ mit\ x=\frac{(k-np)}{\sqrt{np(1-p)}}die\ Beziehung:\\ \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\to \infty }\frac{{p}_{k}^{n}}{(1/\sqrt{2\pi np(1-p)).{e}^{-{x}^{2}/2}}}=1.\end{eqnarray}

Verbal ausgedrückt heißt das, daß eine binomialverteilte Zufallsgröße asymptotisch normalverteilt ist mit dem Mittelwert μ = np und der Standardabweichung \(\sigma =\sqrt{np(1-p)}.\)

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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