alternierende r-fache ℝ-lineare Abbildung ϕ : T_x0 × … × T_x0 → ℂ. Man bezeichnet die Differentialform dann auch exakter als r-dimensionale (komplexwertige) Differentialform.

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Die Menge aller k-mal differenzierbaren lokalen Funktionen (U, f) in x₀ sei bezeichnet mit \({{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{k}\). Statt (U, f) schreibt man meist nur f. Ein (reeller) Tangentialvektor in x₀ ist eine Abbildung \(D:{{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{k}\to {\mathbb{R}}\), für die gilt:

1. D ist ℝ-linear,
2. D (1) = 0,
3. D (f · g) = 0, falls \(f\in {{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{1},g\in {{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{0}\) mit f (_x0) = g(x₀) = 0 ist.

Die Menge aller Tangentialvektoren in x₀ wird mit T_x0 bezeichnet. T_x0 bildet einen reellen Vektorraum.

Die (vom gewählten Koordinatensystem abhängigen) partiellen Ableitungen \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial {x}_{1}},\ldots, \frac{\partial }{\partial {x}_{n}},\frac{\partial }{\partial {y}_{1}},\ldots, \frac{\partial }{\partial {y}_{n}}\end{eqnarray}

ergeben eine Basis von T_x0, also ist dim_ℝT_x0 = 2n. Für komplexwertige lokale Funktionen f = g + ih in x₀ und D ∈ T_x0 setzt man \begin{eqnarray}D(f):=D(g)+iD(h)\text{.}\end{eqnarray}

D bleibt dann ℝ-linear. Unter einem komplexen Tangentialvektor in x₀ versteht man eine ℂ-lineare Abbildung \(d:{{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{1}\to {\rm{{\mathbb{C}}}}\) mit den Derivationseigenschaften 2. und 3.. Die Menge aller komplexen Tangentialvektoren in x₀ sei mit \({T}_{{x}_{0}}^{c}\) bezeichnet. Dann definiert man: \begin{eqnarray}{T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} } & := & \{D\in {T}_{{x}_{0}}^{c}:D(\bar{f})=0,\text{f}\ddot{u}\text{r}\ f\text{ hol}\text{. in}\ {x}_{0}\},\\ {T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} } & := & \{D\in {T}_{{x}_{0}}^{c}:D(f)=0,\text{f}\ddot{u}\text{r}\ f\text{ hol}\text{. in}\ {x}_{0}\}.\end{eqnarray}

Die Elemente von \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} }\) nennt man holomorphe Tangentialvektoren, \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} }\) den holomorphen Tangential-raum, die Elemente von \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} }\) nennt man antiholomorphe Tangentialvektoren, \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} }\) den antiholomorphen Tangentialraum. Die partiellen Ableitungen \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial {z}_{1}},\ldots, \frac{\partial }{\partial {z}_{n}}\text{bzw}.\frac{\partial }{\partial {z}_{1}},\ldots, \frac{\partial }{\partial {z}_{n}}\end{eqnarray} bilden eine Basis von \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} }\) bzw. \({T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} }\), und es ist \({T}_{{x}_{0}}^{c}={T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} }\oplus {T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} }\).

Man kann nun jedem Element \(D\in {T}_{{x}_{0}}\) komplexe Tangentialvektoren \({D}^{^{\prime} }\in {T}_{{x}_{0}}^{^{\prime} }\) und \({D}^{^{\prime\prime} }\in {T}_{{x}_{0}}^{^{\prime\prime} }\) zuordnen, so daß D = D′ + D″ ist: Ist \begin{eqnarray}D=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}{a}_{v}\frac{\partial }{\partial {x}_{\nu }}+\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{b}_{\nu }\frac{\partial }{\partial {y}_{\nu }},\end{eqnarray} so definiert man \begin{eqnarray}{D}^{^{\prime} } & := & \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}({a}_{\nu }-i{b}_{\nu })\frac{\partial }{\partial {z}_{\nu }},\\ {D}^{^{\prime\prime} } & := & \displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}({a}_{\nu }-i{b}_{\nu })\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{\nu }}.\end{eqnarray}

Offensichtlich ist D (f) = D′ (f) + D″ (f) für jedes \(f\in {{\mathscr{D}}}_{{x}_{0}}^{1}\). Man kann daher jeden reellen Tangential-vektor \(D\in {T}_{{x}_{0}}\) in der Form \begin{eqnarray}D=\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{c}_{\nu }\frac{\partial }{\partial {z}_{\nu }}+\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{\bar{c}}_{\nu }\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{\nu }}\end{eqnarray}

schreiben. Ist c ∈ ℂ, so gilt \begin{eqnarray}c\cdot D=\displaystyle \sum _{v=1}^{n}c{c}_{v}\frac{\partial }{\partial {z}_{v}}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}\bar{c}{\bar{c}}_{v}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}_{v}}.\end{eqnarray}

Eine r-dimensionale komplexwertige Differential-form in x₀ ist eine alternierende ℝ-multilineare Abbildung \begin{eqnarray}\varphi :{T}_{{x}_{0}}\times \cdots \times {T}_{{x}_{0}}\to {\rm{{\mathbb{C}}}}.\end{eqnarray}

Die Menge aller r-dimensionalen komplexwertigen Differentialformen in x₀ ist ein komplexer Vektorraum.