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Lexikon der Mathematik: Differentialgleichung mit getrennten Variablen

gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form \begin{eqnarray}{y}^{^{\prime} }(x)=f(x)g(y(x)).\end{eqnarray}

Wenn f und g stetig sind sowie g(y) ≠ 0 ist, dann erhält man nach Division durch g(y(x)) und Integration die zur Differentialgleichung äquivalente Integral-Gleichung \begin{eqnarray}G(y):=\displaystyle \int \frac{du}{g(u)}=\displaystyle \int f(t)dt.\end{eqnarray}

Da G stetig differenzierbar und streng monoton ist, kann nach y(x) aufgelöst werden, und man erhält mit einer Stammfunktion F von f als Lösung: \begin{eqnarray}y(x)=({G}^{-1}\circ F)(x).\end{eqnarray}

Dieses Verfahren wird Methode der Trennung der Variablen genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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