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Lexikon der Mathematik: Differentiation von Potenzreihen

ist im Inneren ihres Konvergenzbereichs möglich und gliedweise durchzuführen:

Ist (an) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen und x0 ∈ ℝ bzw. ∈ ℂ, und hat die Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n}\end{eqnarray}

den Konvergenzradius R ∈ (0, ∞], dann hat auch die Potenzreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n-1}\end{eqnarray} den Konvergenzradius R, und die für |xx0| < R durch \begin{eqnarray}f(x)\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n}\end{eqnarray} definierte Funktion \(f:{U}_{{x}_{0}}^{R}\to {\mathbb{R}}\) ist differenzierbar mit \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{(x-{x}_{0})}^{n-1}.\end{eqnarray}

Da z. B. die Potenzreihe \begin{eqnarray}\exp (x)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}\end{eqnarray}

der Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ den Konvergenzradius ∞ hat, erhält man für x ∈ ℂ \begin{eqnarray}{\exp }^{^{\prime} }(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n\frac{{x}^{n-1}}{n!}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n!}=\exp (x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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